微分のラプラス変換
微分のラプラス変換の公式
定理（微分のラプラス変換）
関数 \(f(t)\) のラプラス変換を \(F(s)=\mathscr{L}\left[f(t)\right]\) とするとき、次が成り立つ。
\[
\mathscr{L}\left[f'(t)\right]=sF(s)-f(0)
\]
証明
\[
\begin{align}
\mathscr{L}\left[f'(t)\right]
&= \int_0^\infty f'(t)e^{-st}dt \\
&= \left[f(t)e^{-st}\right]_0^\infty - \int_0^\infty f(t)(e^{-st})'dt \\
&= 0-f(0) + s\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt \\
&=sF(s)-f(0)
\end{align}
\]
高階微分のラプラス変換
一階微分のラプラス変換の公式
\[
\mathscr{L}\left[f'(t)\right]=sF(s)-f(0)
\]
は、\(F(s)=\mathscr{L}\left[f(t)\right]\) なので
\[
\mathscr{L}\left[f'(t)\right]=s\mathscr{L}\left[f(t)\right]-f(0)
\]
であることから、簡単に、高階微分のラプラス変換を導くことができます。
例えば、二階微分のラプラス変換は次のように求められます。
\[
\begin{align}
\mathscr{L}\left[f''(t)\right] &= s\mathscr{L}\left[f'(t)\right]-f'(0) \\
&= s\{s\mathscr{L}\left[f(t)\right]-f(0)\}-f'(0) \\
&= s^2\mathscr{L}\left[f(t)\right]-sf(0)-f'(0) \\
&= s^2F(s)-sf(0)-f'(0)
\end{align}
\]
例題
例題
関数 \(f(t)\) は
\[
\frac{df(t)}{dt}-2f(t)=t,\quad f(0)=0
\]
を満たすとき、\(f(t)\) のラプラス変換 \(F(s)\) を求めよ。
解答例
両辺をラプラス変換すると
\[
sF(s)-f(0)-2F(s)=\frac{1}{s}
\]
\(f(0)=0\) より、\(F(s)\) について解くと
\[
F(s)=\frac{1}{s(s-2)}
\]
この例題のように、\(f(t)\) が具体的に求まっていなくても、\(f(t)\) が満たす方程式からラプラス変換 \(F(s)\) を求めることができます。
このことから、求まったラプラス変換 \(F(s)\) を逆変換することで、元の \(f(t)\) が求められるのではないかと予想されます。