べき関数のラプラス変換
べき関数のラプラス変換
定理（べき関数のラプラス変換）
\(\alpha\in\mathbb{R}\) とするとき、次が成り立つ。
\[
\mathscr{L}[t^\alpha]=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}}
\]
特に、\(\alpha\) が自然数 \(n\in\mathbb{N}\) のとき、次が成り立つ。
\[
\mathscr{L}[t^n]=\frac{n!}{s^{n+1}}
\]
上記の式を導出します。
\[
\mathscr{L}[t^\alpha] = \int_0^\infty t^\alpha e^{-st}dt \;\cdots\;(*)
\]
これは、特殊関数の一つであるガンマ関数
\[
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}dt
\]
を用いることで求められます。
\((*)\) において、\(u=st\) とおくと
\[
\begin{align}
\int_0^\infty t^\alpha e^{-st}dt
&= \int_0^\infty \left(\frac{u}{s}\right)^\alpha e^{-u}\frac{1}{s}du \\
&= \frac{1}{s^{\alpha+1}}\int_0^\infty u^\alpha e^{-u}du \\
&= \frac{1}{s^{\alpha+1}}\int_0^\infty u^{(\alpha+1)-1}e^{-u}du \\
&= \frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}} \\
\end{align}
\]
よって
\[
\mathscr{L}[t^\alpha]=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}}
\]
が得られます。
また、自然数 \(n\in\mathbb{N}\) に対して
\[
\Gamma(n+1)=n!
\]
が成り立つため、\(\alpha\) が自然数 \(n\in\mathbb{N}\) のとき
\[
\mathscr{L}[t^n]=\frac{n!}{s^{n+1}}
\]
となります。
べき関数のラプラス変換の計算例
例題
次の関数 \(f(t)\) のラプラス変換 \(F(s)\) を求めよ。
\[
f(t)=
\begin{cases}
0 & (t \lt 0) \\
t^2 & (t \ge 0)
\end{cases}
\]
解答例
\[
\begin{align}
F(s) &= \int_0^\infty t^2e^{-st}dt \\
&= \left[-\frac{1}{s}t^2e^{-st}\right]_0^\infty + \int_0^\infty 2t\cdot\frac{1}{s}e^{-st}dt \\
&= 0 + \frac{2}{s}\int_0^\infty te^{-st}dt \\
&= \frac{2}{s}\left( \left[-\frac{1}{s}te^{-st}\right]_0^\infty + \int_0^\infty \frac{1}{s}e^{-st}dt \right) \\
&= \frac{2}{s}\left( 0 + \left[-\frac{1}{s^2}e^{-st}\right]_0^\infty \right) \\
&= \frac{2}{s^3} \quad (\operatorname{Re}s\gt0)
\end{align}
\]
演習問題
問題
自然数 \(n\) に対して、次式を数学的帰納法により証明せよ。
\[
\mathscr{L}[t^n]=\frac{n!}{s^{n+1}}
\]
解答