三角関数のラプラス変換
三角関数のラプラス変換の導出
\(\omega\in\mathbb{R}\) とするとき、次が成り立つ。
\[
\mathscr{L}[\cos\omega t]=\frac{s}{s^2+\omega^2},
\quad
\mathscr{L}[\sin\omega t]=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}
\]
ラプラス変換の定義通りに計算しても上記の公式が得られますが、オイラーの公式を利用することで、より簡単に導出できます。
オイラーの公式より
\[
e^{i\omega t} = \cos\omega t+i\sin\omega t
\]
が成り立つため、まず \(e^{i\omega t}\) のラプラス変換を考えます。
\[
\begin{align}
\mathscr{L}[e^{i\omega t}]
&= \int_0^\infty e^{i\omega t}e^{-st}dt \\
&= \int_0^\infty e^{-(s-i\omega)t}dt \\
&= \left[-\frac{1}{s-i\omega}e^{-(s-i\omega)t}\right]_0^\infty \\
&= \frac{1}{s-i\omega} \\
&= \frac{s+i\omega}{(s-i\omega)(s+i\omega)} \\
&= \frac{s}{s^2+\omega^2} + i\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \;\cdots\; (1) \\
\end{align}
\]
また、ラプラス変換の線形性より
\[
\mathscr{L}[e^{i\omega t}] = \mathscr{L}[\cos\omega t] + i\mathscr{L}[\sin\omega t] \;\cdots\; (2)
\]
となります。 よって、\((1),~(2)\) の実部と虚部を比較して
\[
\mathscr{L}[\cos\omega t]=\frac{s}{s^2+\omega^2},
\quad
\mathscr{L}[\sin\omega t]=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}
\]
を得ます。
三角関数のラプラス変換の存在
次の関数 \(f(t)\) のラプラス変換 \(F(s)\) を求めよ。
\[
f(t)=
\begin{cases}
0 & (t \lt 0) \\
1 & (t \ge 0)
\end{cases}
\]
\[
\begin{align}
F(s) &= \int_0^\infty1\cdot e^{-st}dt \\
&= \left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^\infty \\
&= \frac{1}{s} \quad (\operatorname{Re}s\gt0)
\end{align}
\]