ラプラス変換の移動法則
ラプラス変換の移動法則
\(a\in\mathbb{C}\) とし、関数 \(f(t)\) のラプラス変換を \(F(s)\) とするとき、次が成り立つ。
\[
\mathscr{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)
\]
この公式により、\(f(t)\) のラプラス変換がわかっていれば、それを平行移動することで、\(e^{at}f(t)\) のラプラス変換が求められます。
証明は次のようになります。
\[
\begin{align}
\mathscr{L}[e^{at}f(t)]
&= \int_0^\infty e^{at}f(t)e^{-st}dt \\
&= \int_0^\infty f(t)e^{-(s-a)t}dt \\
&= F(s-a)
\end{align}
\]
三角関数のラプラス変換の存在
次の関数 \(f(t)\) のラプラス変換 \(F(s)\) を求めよ。
\[
f(t)=
\begin{cases}
0 & (t \lt 0) \\
1 & (t \ge 0)
\end{cases}
\]
\[
\begin{align}
F(s) &= \int_0^\infty1\cdot e^{-st}dt \\
&= \left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^\infty \\
&= \frac{1}{s} \quad (\operatorname{Re}s\gt0)
\end{align}
\]