基底と次元

基底の定義

定義（基底）

\(V\) を \(K\) 上のベクトル空間とし、\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\in V\) とする。次の２つの条件を満たすとき、\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\) は \(V\) の基底であるという。

\(V=\langle \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n \rangle\)
\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\) は線形独立である。

\(\boldsymbol{e}_i\in\mathbb{R}^n~~(1\le i\le n)\) を第 \(i\) 成分が \(1\) で他の成分が \(0\) であるような \(n\) 次元数ベクトルとする。このとき、任意の \(\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^n\) に対して

\[ \boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{e}_n \]

であるから

\[ \mathbb{R}^n=\langle \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\cdots,\boldsymbol{e}_n \rangle \]

である。

また、\(A=\begin{bmatrix} \boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \cdots & \boldsymbol{e}_n \end{bmatrix}\) とすると \(A=E_n\) であるから

\[ \det A=1\neq0 \]

すなわち \(\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\cdots,\boldsymbol{e}_n\}\) は線形独立である。

したがって \(\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\cdots,\boldsymbol{e}_n\}\) は \(\mathbb{R}^n\) の基底である。これを \(\mathbb{R}^n\) の標準基底という。

次元の定義

定義（次元）

\(V\) をベクトル空間とする。 \(V\) の基底の個数を \(V\) の次元といい

\[ \dim V \]

と表す。

また、\(V=\{\boldsymbol{0}\}\) のとき \(\dim V=0\) とする。

演習問題

問題１

\(\mathbb{R}^3\) の部分空間

\[ W=\left\{\left.\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3~\right|~3x+y-4z=0\right\} \]

の基底を一組および次元 \(\dim W\) を求めよ。

解答

任意の \(\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}\in W\) に対して、\(3a+b-4c=0\) が成り立つ。 \(a=s,~c=t~~(s,t\in\mathbb{R})\) とおくと \(b=-3s+4t\) より

\[ \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} s \\ -3s+4t \\ t \end{bmatrix} =s\begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \]

と書ける。よって

\[ W=\left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle \]

ここで

\[ \operatorname{rank}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=2 \]

より、\(\begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}\) は線形独立である。したがって \(W\) の基底として

\[ \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} \]

がとれる。よって \(\dim W=2\) である。

問題２

\(\mathbb{R}^3\) の部分空間

\[ W=\left\langle \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle \]

の基底を一組および次元 \(\dim W\) を求めよ。

解答

\(A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) とおく。 \(A\) を行基本変形すると

\[ A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \to\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

よって \(A\) の簡約階段化行列の主番号は \(1,2,4\) であるので、\(W\) の基底として

\[ \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} \]

がとれる。よって \(\dim W=3\) である。

問題３

\(a\in\mathbb{R}\) とする。次の \(\mathbb{R}^3\) の３つのベクトル

\[ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} a \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 \\ a \\ 2 \end{bmatrix} \]

が \(\mathbb{R}^3\) の基底となるための \(a\) の条件を求めよ。

解答

求める条件は

\[ k_1\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix} a \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}+k_3\begin{bmatrix} 1 \\ a \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

を満たす \(k_1,k_2,k_3\in\mathbb{R}\) が自明な解しかもたないことである。

\[ \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & a \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

より、行列 \(\begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & a \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}\) の逆行列が存在すればよいから

\[ \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & a \\ -1 & -2 & 2 \end{vmatrix} =-a^2-2a+3=-(a-1)(a+3)\neq0 \]

よって \(a\neq1,-3\)