基底と次元
基底の定義
定義（基底）
\(V\) を \(K\) 上のベクトル空間とし、\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\in V\) とする。
次の２つの条件が満たすとき、\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\) は \(V\) の基底であるという。
\(V=\langle \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n \rangle\)
\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\) は線形独立である。
\(\boldsymbol{e}_i\in\mathbb{R}^n~~(1\le i\le n)\) を第 \(i\) 成分が1で他の成分が0であるような \(n\) 次元数ベクトルとする。
このとき、任意の \(\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^n\) に対して
\[
\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{e}_n
\]
であるから
\[
\mathbb{R}^n=\langle \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\cdots,\boldsymbol{e}_n \rangle
\]
である。
また、\(A=\begin{bmatrix} \boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \cdots & \boldsymbol{e}_n \end{bmatrix}\) とすると \(A=E_n\) であるから \(\det A=1\neq0\)
すなわち \(\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\cdots,\boldsymbol{e}_n\}\) は線形独立である。
したがって \(\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\cdots,\boldsymbol{e}_n\}\) は \(\mathbb{R}^n\) の基底である。これを \(\mathbb{R}^n\) の標準基底という。
次元の定義
定義（次元）
\(V\) をベクトル空間とする。\(V\) の基底の個数を \(V\) の次元といい
\[
\dim V
\]
と表す。
演習問題
問題１
\(\mathbb{R}^3\) の部分空間
\[
W=\left\{\left.\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3~\right|~3x+y-4z=0\right\}
\]
の基底を一組および次元 \(\dim W\) を求めよ。
解答
任意の \(\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}\in W\) に対して、\(3a+b-4c=0\) が成り立つ。
\(a=s,~c=t~~(s,t\in\mathbb{R})\) とおくと \(b=-3s+4t\) より
\[
\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} s \\ -3s+4t \\ t \end{bmatrix}
=s\begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}
\]
と書ける。よって
\[
W=\left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle
\]
ここで \(A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) とおくと、\(\operatorname{rank}A=2\) より \(\begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}\) は線形独立である。
したがって \(W\) の基底として \(\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}\) がとれる。よって \(\dim W=2\) である。
問題２
\(\mathbb{R}^3\) の部分空間
\[
W=\left\langle \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle
\]
の基底を一組および次元 \(\dim W\) を求めよ。
解答
\(A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) とおく。\(A\) を行基本変形すると
\[
A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}
\to\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]
よって \(A\) の簡約階段化行列の主番号は \(1,2,4\) であるので
\(W\) の基底として \(\left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}\) がとれる。よって \(\dim W=3\) である。
問題３
\(a\in\mathbb{R}\) とする。次の \(\mathbb{R}^3\) の３つのベクトル
\[
\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} a \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 \\ a \\ 2 \end{bmatrix}
\]
が \(\mathbb{R}^3\) の基底となるための \(a\) の条件を求めよ。
解答
求める条件は
\[
k_1\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix} a \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}+k_3\begin{bmatrix} 1 \\ a \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
を満たす \(k_1,k_2,k_3\in\mathbb{R}\) が自明な解しかもたないことである。
\[
\begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & a \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
より、行列 \(\begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & a \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}\) の逆行列が存在すればよいから
\[
\begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & a \\ -1 & -2 & 2 \end{vmatrix}
=-a^2-2a+3=-(a-1)(a+3)\neq0
\]
よって \(a\neq1,-3\)