行列の区分け
行列の区分けとは
行列の区分けとは、大きな行列を小さなブロックに分ける操作です。 この方法により、行列の演算を型の小さい行列の演算に帰着させることができます。
行列の区分けを用いた計算例
区分けを利用して、次の行列 \(A,B\) の積 \(AB\) を計算することを考えます。
\[
A=
\begin{bmatrix}
3 & -1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 2 & 1
\end{bmatrix}
,\quad
B=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & 0\\
-2 & 3 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & -2 & 3
\end{bmatrix}
\]
例えば、次のように区分けします。
\[
A =
\left[
\begin{array}{cc|cc}
3 & -1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0 & 0\\ \hline
0 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 2 & 1
\end{array}
\right]
,\quad
B =
\left[
\begin{array}{cc|cc}
1 & 1 & -1 & 0\\
-2 & 3 & 0 & 1\\ \hline
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & -2 & 3
\end{array}
\right]
\]
ここで
\[
A_1=
\begin{bmatrix}
3 & -1\\
2 & 1
\end{bmatrix}
,\quad
A_2
\begin{bmatrix}
-1 & 1\\
2 & 1
\end{bmatrix}
\]
\[
B_1=
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
-2 & 3
\end{bmatrix}
,\quad
B_2
\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
,\quad
B_3
\begin{bmatrix}
1 & 2\\
-2 & 3
\end{bmatrix}
\]
とおくと
\[
A=
\begin{bmatrix}
A_1 & O \\
O & A_2
\end{bmatrix}
,\quad
B=
\begin{bmatrix}
B_1 & B_2 \\
O & B_3
\end{bmatrix}
\]
と表せます。 この行列に対して、積を計算すると
\[
AB=
\begin{bmatrix}
A_1 & O \\
O & A_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
B_1 & B_2 \\
O & B_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A_1B_1 & A_1B_2 \\
O & A_2B_3
\end{bmatrix}
\]
となります。 ここで、各成分にある行列の計算を行うと
\[
\begin{align}
A_1B_1&=
\begin{bmatrix}
3 & -1 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-2 & 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 & 0 \\
0 & 5
\end{bmatrix}\\
A_1B_2&=
\begin{bmatrix}
3 & -1 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-3 & -1 \\
-2 & 1
\end{bmatrix}\\
A_2B_3&=
\begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
-2 & 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-3 & 1 \\
0 & 7
\end{bmatrix}
\end{align}
\]
したがって
\[
AB=
\begin{bmatrix}
5 & 0 & -3 & -1\\
0 & 5 & -2 & 1\\
0 & 0 & -3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 7
\end{bmatrix}
\]
このように、区分けを利用することで、計算を単純化することができます。 今回の例のように、塊で零行列が作れるときに有効です。