行列式
行列式の定義
定義（行列式）
\(n\) 次正方行列 \(A=[a_{ij}]\) に対して
\[
\det A:=\sum_{\sigma\in S_n}(\operatorname{sgn}\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}
\]
を \(A\) の行列式という。\(\det A\) は \(|A|\) とも書く。
2次正方行列の行列式
\(A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\) の行列式を考える。
\[
S_2=\left\{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},~\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\right\}
\]
であるから
\[
\begin{align}
\det A&=\sum_{\sigma\in S_2}(\operatorname{sgn}\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\\
&=(\operatorname{sgn}\sigma_1)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}+(\operatorname{sgn}\sigma_2)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\\
&=(+1)a_{11}a_{22}+(-1)a_{12}a_{21}\\
&=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{align}
\]
行列式の性質
定理（多重線形性）
\(n\) 次元列ベクトル \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\in\mathbb{R}^n\) について、\(\boldsymbol{a}_k=s\boldsymbol{b}_k+t\boldsymbol{c}_k~~(s,t\in\mathbb{R},~1\le k\le n)\) のとき
\[
\begin{align}
&\det\begin{bmatrix} \boldsymbol{a}_1 & \cdots & s\boldsymbol{b}_k+t\boldsymbol{c}_k & \cdots & \boldsymbol{a}_n \end{bmatrix}\\
&=s\det\begin{bmatrix} \boldsymbol{a}_1 & \cdots & \boldsymbol{b}_k & \cdots & \boldsymbol{a}_n \end{bmatrix}+t\det\begin{bmatrix} \boldsymbol{a}_1 & \cdots & \boldsymbol{c}_k & \cdots & \boldsymbol{a}_n \end{bmatrix}
\end{align}
\]
行について
\[
\det\begin{bmatrix} \boldsymbol{a}_1 \\ \vdots \\ s\boldsymbol{b}_k+t\boldsymbol{c}_k \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_n \end{bmatrix}
=s\det\begin{bmatrix} \boldsymbol{a}_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_k \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_n \end{bmatrix}+t\det\begin{bmatrix} \boldsymbol{a}_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol{c}_k \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_n \end{bmatrix}
\]
定理（交代性）
列
\[
\det\begin{bmatrix} \boldsymbol{a}_{\sigma(1)} & \boldsymbol{a}_{\sigma(2)} & \cdots & \boldsymbol{a}_{\sigma(n)} \end{bmatrix}
=(\operatorname{sgn}\sigma)\det\begin{bmatrix} \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 & \cdots & \boldsymbol{a}_n \end{bmatrix}
\]
行
\[
\det\begin{bmatrix} \boldsymbol{a}_{\sigma(1)} \\ \boldsymbol{a}_{\sigma(2)} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_{\sigma(n)} \end{bmatrix}
=(\operatorname{sgn}\sigma)\det\begin{bmatrix} \boldsymbol{a}_1 \\ \boldsymbol{a}_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_n \end{bmatrix}
\]
定理（行列式の公式）
- \(\det A^\top=\det A\)
- \(\det(AB)=\det A\det B\)
- \(\det(A^{-1})=(\det A)^{-1}\)
行列式の計算方法
定理（余因子展開）
\(A\) を \(n\) 次正方行列とし、 \(A\) の第 \(i\) 行と第 \(j\) 列を除いて得られる行列を \(A_{ij}\) とする。
第 \(j'\) 列に関する余因子展開は
\[
\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}
=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j'}a_{ij'}
\begin{vmatrix} A_{ij'} \end{vmatrix}
\]
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}