固有値・固有ベクトル

固有値・固有ベクトルの定義

定義（固有値・固有ベクトル）

\(n\) 次正方行列 \(A\) に対して、ある \(\lambda\in\mathbb{C}\) と \(\boldsymbol{0}\) でない列ベクトル \(\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^n\) が存在して

\[ A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x} \]

が成り立つとき、\(\lambda\) を \(A\) の固有値、\(\boldsymbol{x}\) を \(\lambda\) に対する固有ベクトルという。

例

行列 \(A=\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\) に対して、\(\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\) は

\[ A\boldsymbol{x}= \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix} =2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} =2\boldsymbol{x} \]

となるので、\(2\) は \(A\) の固有値、\(\boldsymbol{x}\) はその固有ベクトルである。

固有値・固有ベクトルの計算方法

行列の固有値を求めるには、方程式

\[ A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x} \]

を満たす解 \(\boldsymbol{x}\neq0\) を持つような \(\lambda\) を探します。 この方程式を変形すると

\[ A\boldsymbol{x}-\lambda\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \] \[ (A-\lambda E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \]

となります。 非自明な解 \(\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}\) を持つためには \((A-\lambda E)\) が正則でない、すなわち

\[ \det(A-\lambda E)=0 \]

となることが必要です。 この方程式を固有方程式といい、これを解くことで、固有値 \(\lambda\) を求めます。 固有値は、\(A\) が \(n\) 次正方行列ならば重複度を込めて \(n\) 個存在します。

固有値が求まったら、その固有値に対する固有ベクトルを求めます。

\[ A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x} \] \[ (A-\lambda E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \]

であることから、これに先ほど求めた \(\lambda\) を代入します。 この方程式の解 \(\boldsymbol{x}\) が、その \(\lambda\) に対する固有ベクトルとなります。

例題

次の行列 \(A\) の固有値と固有ベクトルを求めよ。

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \]
解答例

\(A\) の固有値を \(\lambda\) とし、これに対する固有ベクトルを \(\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\) とすると

\[ A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x} \] \[ (A-\lambda E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \]

\(\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}\) であるから

\[ \det(A-\lambda E)=0 \]

となることが必要である。

\[ \begin{align} &\det(A-\lambda E) = 0 \\ \\ &\Longleftrightarrow \quad \det\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}-\lambda\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) = 0 \\ \\ &\Longleftrightarrow \quad \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 2-\lambda \end{bmatrix} = 0 \\ \\ &\Longleftrightarrow \quad (1-\lambda)(2-\lambda)-2\cdot3 = 0 \\ \\ &\Longleftrightarrow \quad \lambda^2-3\lambda-4 = 0 \\ \\ &\Longleftrightarrow \quad (\lambda+1)(\lambda-4) = 0 \\ \\ &\Longleftrightarrow \quad \lambda=-1,4 \end{align} \]
  1. 固有値 \(\lambda=-1\) に対する固有ベクトルを求める。

    \((A-\lambda E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) に \(\lambda=-1\) を代入すると

    \[ (A+E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \]

    これを解くと

    \[ \begin{align} &\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right)\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \\ &\Longleftrightarrow \quad \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \\ &\Longleftrightarrow \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \\ &\Longleftrightarrow \quad x+y=0 \end{align} \]

    よって、\(x=s\) とすると、固有値 \(\lambda=-1\) に対する固有ベクトルは

    \[ \boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} s \\ -s \end{bmatrix} =s\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \quad (s\in\mathbb{R}) \]
  2. 固有値 \(\lambda=4\) に対する固有ベクトルを求める。

    \((A-\lambda E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) に \(\lambda=4\) を代入すると

    \[ (A-4E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \]

    これを解くと

    \[ \begin{align} &\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} -4 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right)\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \\ &\Longleftrightarrow \quad \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \\ &\Longleftrightarrow \quad \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \\ &\Longleftrightarrow \quad x-y=0 \end{align} \]

    よって、\(x=t\) とすると、固有値 \(\lambda=4\) に対する固有ベクトルは

    \[ \boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} t \\ t \end{bmatrix} =t\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad (t\in\mathbb{R}) \]

固有値の性質

固有値の和と積には次のような性質があります。

定理（行列のトレースと固有値）

\(n\) 次正方行列 \(A\) の固有値を重複を含めて \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) とすると

\[ \operatorname{tr}A = \lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n \]

が成り立つ。

定理（行列の行列式と固有値）

\(n\) 次正方行列 \(A\) の固有値を重複を含めて \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) とすると

\[ \det A = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n \]

が成り立つ。

演習問題

問題
解答