固有値・固有ベクトル

固有値・固有ベクトルの定義

定義（固有値・固有ベクトル）

\(A\) を \(n\) 次正方行列とする。このとき、ある \(\lambda\in\mathbb{C}\) と零ベクトルでない列ベクトル \(\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^n\) が存在して

\[ A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x} \]

が成り立つとき、\(\lambda\) を \(A\) の固有値、\(\boldsymbol{x}\) を \(\lambda\) に対する固有ベクトルという。

例

行列 \(A=\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\) に対して、\(\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\) は

\[ A\boldsymbol{x}= \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix} =2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} =2\boldsymbol{x} \]

となるので、\(\lambda=2\) は固有値、\(\boldsymbol{x}\) はその固有ベクトルである。

固有値の計算方法

行列の固有値を求めるには

\[ A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x} \]

を変形し、\(\boldsymbol{x}\neq0\) となる \(\lambda\) を探します。

この式を変形すると

\[ A\boldsymbol{x}-\lambda\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \] \[ (A-\lambda E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \]

となります。非自明な解 \(\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}\) を持つためには、\(A-\lambda E\) が正則でない、すなわち

\[ \det(A-\lambda E)=0 \]

となることが必要です。この式を固有方程式といい、これを解くことで、固有値 \(\lambda\) を求めます。固有値は \(n\) 次正方行列の場合、重複度を込めて \(n\) 個存在します。

演習問題

問題

解答