グラム・シュミットの正規直交化法
正規直交基底
定義（直交基底・正規直交基底）
計量ベクトル空間 \(V\) の基底 \(\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\}\) は次の条件を満たすとき、\(V\) の直交基底という。
\[
1\le i,j\le n,~i\neq j ~\Longrightarrow~ \langle \boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_j \rangle = 0
\]
さらに、次の条件を満たす直交基底を \(V\) の正規直交基底という。
\[
\|\boldsymbol{v}_i\|=1 \quad (i=1,2,\cdots,n)
\]
グラム・シュミットの正規直交化法
まず、\(\boldsymbol{v}_1'=\boldsymbol{v}_1\) とおきます。
\(\boldsymbol{v}_2'=\boldsymbol{v}_2-x_{21}\boldsymbol{v}_1'\) とおき、\(\langle \boldsymbol{v}_2',\boldsymbol{v}_1' \rangle = 0\) を解いて \(x_{21}\) を求めます。
\[
\begin{align}
&\langle \boldsymbol{v}_2',\boldsymbol{v}_1' \rangle = 0\\
&\Longleftrightarrow \langle \boldsymbol{v}_2-x_{21}\boldsymbol{v}_1',\boldsymbol{v}_1' \rangle = 0\\
&\Longleftrightarrow \langle \boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_1' \rangle -x_{21} \|\boldsymbol{v}_1'\|^2 = 0\\
&\Longleftrightarrow x_{21}=\frac{\langle \boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_1' \rangle}{\|\boldsymbol{v}_1'\|^2}
\end{align}
\]
よって
\[
\boldsymbol{v}_2'=\boldsymbol{v}_2-\frac{\langle \boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_1' \rangle}{\|\boldsymbol{v}_1'\|^2}\boldsymbol{v}_1'
\]
\(\boldsymbol{v}_3'=\boldsymbol{v}_3-x_{31}\boldsymbol{v}_1'-x_{32}\boldsymbol{v}_2'\) とおき、\(\langle \boldsymbol{v}_3',\boldsymbol{v}_1' \rangle = 0,~\langle \boldsymbol{v}_3',\boldsymbol{v}_2' \rangle = 0\) を解いて \(x_{31},x_{32}\) を求めます。
よって
\[
\boldsymbol{v}_3'=\boldsymbol{v}_3-\frac{\langle \boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_1' \rangle}{\|\boldsymbol{v}_1'\|^2}\boldsymbol{v}_1'-\frac{\langle \boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_2' \rangle}{\|\boldsymbol{v}_2'\|^2}\boldsymbol{v}_2'
\]