線形写像の像と核

線形写像の核

定義（線形写像の核）

\(V,W\) を \(K\) 上のベクトル空間とし、\(f:V\to W\) を線形写像とする。このとき

\[ \operatorname{Ker}f:=\{\boldsymbol{x}\in V~|~f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}\} \]

を \(f\) の核という。

定義（線形写像の像）

\(V,W\) を \(K\) 上のベクトル空間とし、\(f:V\to W\) を線形写像とする。このとき

\[ \operatorname{Im}f=f(V)=\{f(\boldsymbol{x})\in W~|~\boldsymbol{x}\in V\} \]

を \(f\) の像という。

定義（線形写像の階数）

\(V,W\) を \(K\) 上のベクトル空間とし、\(f:V\to W\) を線形写像とするとき

\[ \operatorname{rank}f:=\dim \operatorname{Im}f \]

を \(f\) の階数という。

定理（行列写像の階数）

\(K\) の要素を成分にもつ \(m\times n\) 行列 \(A\) によって定まる線形写像 \(f_A:K^n\to K^m\) に対して

\[ \operatorname{rank}f_A=\operatorname{rank}A \]

が成り立つ。

定理（次元定理）

\(V,W\) を \(K\) 上のベクトル空間とし、\(f:V\to W\) を線形写像とする。このとき

\[ \dim V=\operatorname{rank}f+\dim\operatorname{Ker}f \]

が成り立つ。

問題

写像 \(f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) を次のように定める。

\[ f\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}\right) =\begin{bmatrix} x+4y-2z-w \\ -2x-y-z+2w \\ x+2y-z \end{bmatrix} \]