内積空間（計量ベクトル空間）

\(V\) を \(\mathbb{C}\) 上のベクトル空間とする。 任意の \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\) に対して、関数

が以下の条件を満たすとき、\(\langle~,~\rangle\) を \(V\) 上の内積という。

\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in V,~k,l\in\mathbb{C}\) とするとき

1. \(\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=\overline{\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\rangle}\) （エルミート対称性）

2. \(\langle k\boldsymbol{x}+l\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\rangle=k\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\rangle+l\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\rangle\) （線形性）

3. \(\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle\ge0\)

4. \(\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle=0\Longleftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)

また、内積 \(\langle~,~\rangle\) は \((\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\) や \(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}\) とも書かれる。

内積が定義されたベクトル空間を内積空間（計量ベクトル空間）という。