逆行列と正則行列

逆行列と正則行列の定義

定義（逆行列）
\(A\) を \(n\) 次正方行列、\(E\) を \(n\) 次単位行列とするとき \[ AX=XA=E \] を満たす正方行列 \(X\) が存在するとき、これを \(A\) の逆行列といい \[ A^{-1} \] と表す。

定義（正則行列）
正方行列 \(A\) が逆行列 \(A^{-1}\) をもつとき、\(A\) は正則であるといい、そのような行列を正則行列という。

定理（正則の判定法）
\(n\) 次正方行列 \(A\) に対して、次の3つは同値である。
  1. \(A\) が正則
  2. \(\operatorname{rank}A=n\)
  3. \(\det A\neq0\)

逆行列の性質

定理（逆行列の性質）
\(A,B\) は正則行列とするとき、次が成り立つ。
  1. \((A^{-1})^{-1}=A\)
  2. \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
  3. \((A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top\)

2次正方行列の逆行列

2次正方行列 \(A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) は \(ad-bc\neq0\) のとき逆行列が存在し \[ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \] である。

逆行列の計算方法

定理（掃き出し法）
\(A\) を正則行列とし、\(E\) を \(n\) 次単位行列とする。 行列 \(\begin{bmatrix} A|E\end{bmatrix}\) を行基本変形を用いて \(\begin{bmatrix} E|X\end{bmatrix}\) の形にすると、 \(X\) は \(A\) の逆行列 \(A^{-1}\) となる。