逆行列と正則行列

逆行列と正則行列の定義

定義（逆行列）

\(A\) を \(n\) 次正方行列、\(E\) を \(n\) 次単位行列とするとき

\[ AX=XA=E \]

を満たす正方行列 \(X\) が存在するとき、これを \(A\) の逆行列といい

\[ A^{-1} \]

と表す。

定義（正則行列）

正方行列 \(A\) が逆行列 \(A^{-1}\) をもつとき、\(A\) は正則であるといい、そのような行列を正則行列という。

定理（正則の判定法）

\(n\) 次正方行列 \(A\) に対して、次の3つは同値である。

  1. \(A\) が正則
  2. \(\operatorname{rank}A=n\)
  3. \(\det A\neq0\)

逆行列の性質

定理（逆行列の性質）

\(A,B\) を正則行列とするとき、次が成り立つ。

  1. \((A^{-1})^{-1}=A\)
  2. \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
  3. \((A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top\)

２次正方行列の逆行列

2次正方行列

\[ A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

は \(ad-bc\neq0\) のとき、逆行列が存在して

\[ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]

となります。

掃き出し法による逆行列の計算

定理（掃き出し法）

\(A\) を正則行列とし、\(E\) を \(n\) 次単位行列とする。 行列 \(\begin{bmatrix} A|E\end{bmatrix}\) を行基本変形を用いて \(\begin{bmatrix} E|X\end{bmatrix}\) の形にすると、\(X\) は \(A\) の逆行列 \(A^{-1}\) となる。