線形写像
線形写像の定義
\(V,W\) を \(K\) 上のベクトル空間とする。 写像 \(f:V\to W\) が次の2つの条件を満たすとき、写像 \(f\) を \(K\) 上の線形写像という。
- \(\forall \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\in V:f(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)=f(\boldsymbol{v}_1)+f(\boldsymbol{v}_2)\)
- \(\forall \boldsymbol{v}\in V,~\forall k\in K:f(k\boldsymbol{v})=kf(\boldsymbol{v})\)
また、\(W=V\) であるとき、すなわち、写像 \(f:V\to V\) を \(V\) の \(K\) 上の線形変換という。
行列と線形写像
\(A\) を \(K\) の要素を成分にもつ \(m\times n\) 行列とする。 写像 \(f_A:K^n\to K^m\) を
\[
f_A(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}
\]
で定義するとき、\(f_A\) は \(K\) 上の線形写像である。
例題
解答
\[
\]