線形包と生成系

線形包

定義（線形包）

\(V\) を \(K\) 上のベクトル空間とする。 \(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\in V\) の線形結合の全体からなる集合

\[ \{k_1\boldsymbol{v}_1+k_2\boldsymbol{v}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{v}_n\in V~|~k_1,k_2,\cdots,k_n\in K\} \]

を

\[ \langle \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n \rangle \]

と表し、これを \(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\) の線形包という。

生成系

定義（ベクトルが生成する部分空間・生成系）

\(V\) を \(K\) 上のベクトル空間とし、\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\in V\) とする。 \(V\) の部分集合 \(W\) に対して

\[ W=\langle \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n \rangle \]

が成り立つとき、\(W\) を \(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\) が生成する部分空間といい、\(\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\}\) を \(W\) の生成系という。

演習問題

問題

\(\left\{ \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} \right\}\) は \(\mathbb{R}^2\) を生成するか。

解答

任意の \(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^2\) に対して

\[ \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=s\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}~~~(s,t\in\mathbb{R}) \]
とおくと \[ \begin{cases} x=s+t\\ y=t \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} s=x-y\\ t=y \end{cases} \] であるから \[ \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=(x-y)\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} \] よって \(\left\{ \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} \right\}\) は \(\mathbb{R}^2\) を生成する。