線形独立と線形従属
線形結合
定義（線形結合）
\(V\) を \(K\) 上のベクトル空間とする。
ベクトル \(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\in V\) と スカラー \(k_1,k_2,\cdots,k_n\in K\) によって
\[
k_1\boldsymbol{v}_1+k_2\boldsymbol{v}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{v}_n
\]
の形で表される式を \(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\) の線形結合という。
\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\in V\) の線形結合が零ベクトルと等しいとした関係式
\[
k_1\boldsymbol{v}_1+k_2\boldsymbol{v}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{v}_n=\boldsymbol{0}
\]
を \(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\) の線形関係式といいます。
特に
\[
k_1=k_2=\cdots=k_n=0
\]
のとき、線形関係式は
\[
0\boldsymbol{v}_1+0\boldsymbol{v}_2+\cdots+0\boldsymbol{v}_n=\boldsymbol{0}
\]
となり、これを自明な線形関係式といいます。
これに対して、自明な線形関係式でない線形関係式は非自明な線形関係式といいます。
線形独立・線形従属の定義
定義（線形独立と線形従属）
\(V\) を \(K\) 上のベクトル空間とする。
\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\in V\) が非自明な線形関係式をもたないとき、すなわち、\(k_1,k_2,\cdots,k_n\in K\) として
\[
k_1\boldsymbol{v}_1+k_2\boldsymbol{v}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{v}_n=\boldsymbol{0}\\
\]
を満たす \(k_1,k_2,\cdots,k_n\in K\) が
\[
k_1=k_2=\cdots=k_n=0
\]
に限るとき、\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\) は線形独立であるという。
逆に \(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\in V\) が非自明な線形関係式をもつとき、\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\) は線形従属であるという。
例題
次の \(\mathbb{R}^4\) のベクトルの組は線形独立か線形従属かを判定せよ。
\[
\left\{
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}
\right\}
\]
\(k_1,k_2,k_3\in\mathbb{R}\) として、線形関係式を考えます。
\[
k_1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}+k_3\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
すなわち
\[
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\0 \end{bmatrix}
\]
これを満たす \(k_1,k_2,k_3\) が \(k_1=k_2=k_3=0\) のみかどうかを調べます。
\[
A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix}
\]
として、行基本変形をすると
\[
A
\to
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}
\to
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
\]
よって、\(\operatorname{rank}A=3\) より、自明な解しかもたないことがわかります。
したがって、与えられたベクトルは線形独立です。
演習問題
問題
次の \(\mathbb{R}^3\) のベクトルの組は線形独立か線形従属かを判定せよ。
\[
\left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\right\}
\]
解答
\[
k_1\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}+k_3\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
とおくと
\[
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
この同次連立一次方程式を解くことを考える。
\[
\begin{align}
\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}
&=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -4 & -3 \\ 0 & -3 & -2 \end{vmatrix}\\
&=(-1)^2\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix}
=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}
=4\cdot2-3\cdot3
=-1
\end{align}
\]
であるから、同次連立一次方程式は自明な解しかもたない。
したがって、線形独立である。