行列の階数
階段行列
行列の階数の定義
行列 \(A\) を行基本変形で階段行列に変形したときの0でない行の個数を \(A\) の階数といい
\[
\operatorname{rank}A
\]
と書く。
演習問題
次の行列の階数を求めよ。
\[
A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}
\]
解答
\[
\begin{align}
A&=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}\to
\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}\to
\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 6 & -3 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}\\
&\to\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}\to
\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
\end{align}
\]
よって \(\operatorname{rank}A=2\)