行列の定義

定義（行列）

実数を長方形に並べたものを行列といい、並べたそれぞれの数を成分という。行列において、成分の横の並びを行、縦の並びを列といい、行数が \(m\) 、列数が \(n\) である行列を \(m\times n\) 行列、\((m,n)\) 型行列、または \(m\) 行 \(n\) 列の行列という。

第 \((i,j)\) 成分が \(a_{ij}\) である \(m\times n\) 行列は

\[ A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

のように書かれる。また、第 \((i,j)\) 成分だけを取りだして

\[ A=[a_{ij}] \]

と略記することもある。

定義（正方行列・対角行列）

行数と列数が等しい行列を正方行列という。正方行列において、行数（列数）を正方行列の次数といい、次数が \(n\) である正方行列を \(n\) 次正方行列という。

\(n\) 次正方行列 \(A=[a_{ij}]\) の成分 \(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}\) を対角成分といい、対角成分以外がすべて \(0\) である正方行列を対角行列という。

行ベクトルと列ベクトル

定義（行ベクトル・列ベクトル）

\(1\times n\) 行列を \(n\) 次元行ベクトル（横ベクトル）といい、\(n\times 1\) 行列を \(n\) 次元列ベクトル（縦ベクトル）という。

具体的に、\(a_1,a_2,\cdots,a_n\) を成分とする \(n\) 次元行ベクトルは

\[ \boldsymbol{a}=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix} \]

であり、\(a_1,a_2,\cdots,a_n\) を成分とする \(n\) 次元列ベクトルは

\[ \boldsymbol{a}=\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} \]

と表される。

零行列と単位行列

定義（零行列）

成分がすべて \(0\) である行列

\[ O= \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \]

を零行列という。

定義（単位行列）

対角成分がすべて \(1\) である対角行列

\[ E= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \]

を \(n\) 次単位行列という。次数を明記して、\(E_n\) とも書かれる。

行列の相等

定義（行列の相等）

２つの行列 \(A=[a_{ij}],~B=[b_{ij}]\) に対して

\[ \forall i,j,~~~a_{ij}=b_{ij} \]

が成り立つとき、\(A\) と \(B\) は等しいといい

\[ A=B \]

と表す。

演習問題

問題

解答