2次形式
2次形式の定義
実数係数の多項式で、すべての項が2次であるものを2次形式という。 \(n\) 変数の2次形式は次のように表される。
\[
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j \quad (a_{ij} \in \mathbb{R})
\]
2次形式の行列表現
任意の2次形式は、行列を用いて表すことができます。
ベクトル \(\boldsymbol{x}\) と正方行列 \(A\) を
\[
\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}
,\quad
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{bmatrix}
\]
と定めるとき
\[
\begin{align}
\boldsymbol{x}^\top A \boldsymbol{x}
&=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \\
&=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \sum_{j=1}^na_{1j}x_j \\ \sum_{j=1}^na_{2j}x_j \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^na_{nj}x_j \end{bmatrix} \\
&=\sum_{i=1}^n\left(x_i\sum_{j=1}^na_{ij}x_j\right) \\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j
\end{align}
\]
上記では一般の正方行列に対して示しましたが、2次形式は対称行列を用いて表すことができます。
任意の2次形式は対称行列を用いて表せる。 \(A\) を \(n\) 対称行列、\(\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\) とすると、2次形式は
\[
\boldsymbol{x}^\top A \boldsymbol{x}
\]
と書ける。