連立一次方程式
連立一次方程式の行列表現
連立一次方程式
\[
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\
\quad\vdots\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m
\end{cases}
\]
に対して、係数を並べた行列
\[
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\]
を係数行列という。 このとき、ベクトル \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{b}\) を
\[
\boldsymbol{x}=
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n
\end{bmatrix}
,\quad
\boldsymbol{b}=
\begin{bmatrix}
b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n
\end{bmatrix}
\]
とおくと、連立一次方程式は
\[
A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}
\]
と表せる。 また、\(A\) と \(\boldsymbol{b}\) を合わせた行列
\[
(A|\boldsymbol{b})=
\left[
\begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
\end{array}
\right]
\]
を拡大係数行列という。
連立一次方程式の解の分類
クラメールの公式
解 \(x_i\) は \(A\) の第 \(i\) 列を \(\boldsymbol{b}\) で置き換えた行列の行列式を用いて
\[
x_i=\frac{1}{\det A}
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1.i-1} & b_1 & a_{1.i+1} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & \cdots & a_{2.i-1} & b_2 & a_{2.i+1} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{n.i-1} & b_1 & a_{n.i+1} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]