行列のトレース
行列のトレースの定義
\(n\) 次正方行列 \(A=[a_{ij}]\) に対して
\[
\operatorname{tr}A=\sum_{i=1}^na_{ii}
\]
を \(A\) のトレースという。
行列のトレースの性質
\(n\) 次正方行列 \(A,B\) に対して次が成り立つ。
- \(\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B\)
- \(\operatorname{tr}(kA)=k\operatorname{tr}A\)
- \(\operatorname{tr}A^\top=\operatorname{tr}A\)
\(m\times n\) 行列 \(A\) と \(n\times m\) 行列 \(B\) に対して次が成り立つ。
\[
\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)
\]
\(n\) 次正方行列 \(A\) と \(n\) 正則行列 \(P\) に対して次が成り立つ。
\[
\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}(A)
\]
証明
\[
\begin{align}
\operatorname{tr}(P^{-1}AP)
&=\operatorname{tr}((P^{-1}A)P)\\
&=\operatorname{tr}(P(P^{-1}A))\quad(\because \text{行列のトレースの可換不変性より})\\
&=\operatorname{tr}((PP^{-1})A)\\
&=\operatorname{tr}A
\end{align}
\]