転置行列と対称行列・交代行列・直交行列

転置行列の定義と性質

定義（転置行列）
\(m\times n\) 行列 \(A\) が \[ A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \] と表されるとき、\(A\) の行と列を入れ替えた \(n\times m\) 行列 \[ A^\top:=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \] を \(A\) の転置行列という。

定理（転置行列の性質）
\(A,B\) を \(m\times n\) 行列とするとき、次が成り立つ。
  1. \((A^\top)^\top=A\)
  2. \((A+B)^\top=A^\top+B^\top\)
  3. \((AB)^\top=B^\top A^\top\)
  4. \((kA)^\top=kA^\top\)

対称行列

定義（対称行列）
正方行列 \(A\) について \[ A^\top=A \] が成り立つとき、\(A\) を対称行列という。

交代行列

定義（交代行列）
正方行列 \(A\) について \[ A^\top=-A \] が成り立つとき、\(A\) を交代行列という。

直交行列

定義（直交行列）
正方行列 \(A\) について \[ A^\top=A^{-1} \] が成り立つとき、\(A\) を直交行列という。