転置行列と対称行列・交代行列・直交行列
転置行列の定義と性質
ある行列の \((i,j)\) 成分と \((j,i)\) 成分を入れ替えた行列を転置行列といい、次のように定義します。
定義（転置行列）
\(m\times n\) 行列 \(A\) が
\[
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\]
と表されるとき、\(A\) の行と列を入れ替えた \(n\times m\) 行列
\[
A^\top:=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\]
を \(A\) の転置行列という。
定理（転置行列の性質）
\(A,B\) を \(m\times n\) 行列とするとき、次が成り立つ。
- \((A^\top)^\top=A\)
- \((A+B)^\top=A^\top+B^\top\)
- \((kA)^\top=kA^\top \quad (k:\text{定数})\)
- \((AB)^\top=B^\top A^\top\)
対称行列
定義（対称行列）
正方行列 \(A\) に対して
\[
A^\top=A
\]
が成り立つとき、\(A\) を対称行列という。
交代行列
定義（交代行列）
正方行列 \(A\) に対して
\[
A^\top=-A
\]
が成り立つとき、\(A\) を交代行列という。
直交行列
定義（直交行列）
正方行列 \(A\) に対して
\[
A^\top=A^{-1}
\]
が成り立つとき、\(A\) を直交行列という。