ベクトル空間と部分空間

ベクトル空間

定義（ベクトル空間）

体 \(K\) および空でない集合 \(V\) について

\[ \forall \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in V:\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\in V \] \[ \forall \boldsymbol{a}\in V,~\forall k\in K:k\boldsymbol{a}\in V \]

が成り立ち、次の１～８の性質（ベクトルの公理）を満たすとき、\(V\) を \(K\) 上のベクトル空間（線形空間）という。

  1. 和に関する結合法則

    \(\forall \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\in V:(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\)

  2. 和に関する交換法則

    \(\forall \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in V:\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\)

  3. 零元の存在

    \(\exists \boldsymbol{0}\in V,~\forall \boldsymbol{a}\in V:\boldsymbol{a}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{a}\)

  4. 逆元の存在

    \(\forall \boldsymbol{a}\in V,~\exists -\boldsymbol{a}\in V:\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{a})=\boldsymbol{0}\)

  5. スカラー倍に関する結合法則

    \(\forall \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in V,~\forall k,l\in K:k(l\boldsymbol{a})=(kl)\boldsymbol{a}\)

  6. スカラーに関する分配法則

    \(\forall \boldsymbol{a}\in V,~\forall k,l\in K:(k+l)\boldsymbol{a}=k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{a}\)

  7. ベクトルに関する分配法則

    \(\forall \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in V,~\forall k\in K:k(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=k\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}\)

  8. 単位元によるスカラー倍

    \(\exists 1\in K,~\forall \boldsymbol{a}\in V:1\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}\)

特に、\(V\) は \(K=\mathbb{R}\) のとき実ベクトル空間といい、\(K=\mathbb{C}\) のとき複素ベクトル空間という。

ベクトル空間の例を示します。

例（実数列全体の集合がなすベクトル空間）

実数列全体の集合

\[ A(\mathbb{R})=\{\{a_n\}_{n=1}^\infty~|~a_n\in\mathbb{R}~(n\in\mathbb{N})\} \]

に対して、和とスカラー倍を

\[ \{a_n\}+\{b_n\}=\{a_n+b_n\},\quad k\{a_n\}=\{ka_n\} \]

と定義すると、\(A(\mathbb{R})\) はベクトル空間となる。

部分空間

定義（部分空間）

\(K\) 上のベクトル空間 \(V\) の部分集合 \(W\) について

  1. \(\boldsymbol{0}\in W\)
  2. \(\forall \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in W:\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\in W\)
  3. \(\forall \boldsymbol{a}\in W,~\forall k\in K:k\boldsymbol{a}\in W\)

が成り立つとき、\(W\) をベクトル空間 \(V\) の部分空間という。

定義（部分空間の和・直和）

\(K\) 上のベクトル空間 \(V\) の部分空間 \(U,W\) に対して

\[ U+W:=\{\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}~|~\boldsymbol{u}\in U,~\boldsymbol{w}\in W\} \]

を \(U\) と \(W\) の和という。

特に、\(U\cap W=\{\boldsymbol{0}\}\) であるとき、\(U+W\) を \(U\) と \(W\) の直和といい

\[ U\oplus W \]

と書く。

定理（部分空間の和と共通部分）

\(V\) を \(K\) 上のベクトル空間とし、\(U,W\) を \(V\) の部分空間とすると、以下が成り立つ。

  1. \(U\cap W\) は \(V\) の部分空間である。
  2. \(U+W\) は \(V\) の部分空間である。

演習問題

問題

\(\mathbb{R}\) 上のベクトル空間 \(\mathbb{R}^2\) の部分集合

\[ W=\left\{\left. \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^2 ~\right|~ x+2y=0 \right\} \]

が \(\mathbb{R}^2\) の部分空間であるかどうか判定せよ。

解答

  1. \(0+2\cdot0=0\) より \(\boldsymbol{0}\in W\)

  2. \(\boldsymbol{a}=\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix},~\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}\in W\) とすると

    \[ a_1+2a_2=0,\quad b_1+2b_2=0 \]

    であるから \(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \end{bmatrix}\) について

    \[ (a_1+b_1)+2(a_2+b_2)=(a_1+2a_2)+(b_1+2b_2)=0 \]

    よって \(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\in W\)

  3. \(\boldsymbol{a}=\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}\in W,~k\in\mathbb{R}\) とすると

    \[ a_1+2a_2=0 \]

    であるから \(k\boldsymbol{a}=\begin{bmatrix} ka_1 \\ ka_2 \end{bmatrix}\) について

    \[ ka_1+2ka_2=k(a_1+2a_2)=0 \]

    よって \(k\boldsymbol{a}\in W\)

したがって、\(W\) は \(\mathbb{R}^2\) の部分空間である。