ラグランジュ補間
ラグランジュ補間
ラグランジュ補間とは、与えられた有限個の点をすべて通る多項式を、明示的な形で作る方法です。
定義（ラグランジュ補間多項式）
\(n+1\) 個の点 \((x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n)\) に対して
\[
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0 \\ j\neq i}}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}
\]
をラグランジュ多項式という。
このとき
\[
P_n(x)=\sum_{i=0}^nL_i(x)y_i
\]
をラグランジュ補間多項式という。
ラグランジュ多項式は
\[
\begin{align}
L_i(x)
&=\prod_{\substack{j=0 \\ j\neq i}}^n\frac{x_i-x_j}{x_i-x_j} \\
&=\frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)}{(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}
\end{align}
\]
なので
\[
L_i(x_k)=
\begin{cases}
1 & (k=i) \\
0 & (k\neq i)
\end{cases}
\]
となります。
よって \(x=x_k\) のとき、ラグランジュ補間多項式は
\[
P_n(x_k)=\sum_{i=0}^nL_i(x_k)y_i=L_k(x_k)y_k=y_k
\]
となり、すべての点を通ることがわかります。
ラグランジュ補間の誤差
定理（ラグランジュ補間の誤差）
関数 \(f(x)\) が区間 \((x_0,x_n)\) で \(n+1\) 回微分可能であるとする。
このとき、ラグランジュ補間多項式 \(P_n(x)\) に対して
\[
f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x-x_i)
\]
を満たす \(\xi\in(x_0,x_n)\) が存在する。
数式の意味を分解して整理してみます。
\[
\prod_{i=0}^n(x-x_i)
\]
は、補間点 \(x=x_i\) では必ず \(0\) になり、補間点から離れるほど大きくなりやすいことを表しています。
\[
\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}
\]
は、関数の滑らかさを表し、高階微分が大きい関数ほど誤差も大きくなりやすいことを示しています。
ルンゲ現象
次数を大きくすると、端点付近で \(\displaystyle\prod_{i=0}^n(x-x_i)\) の値が急激に大きくなり、補間が発散することがあります。
これをルンゲ現象といいます。