ニュートン法

ニュートン法のアルゴリズム

\(C^1\) 級関数 \(f(x)\) を考えます。

方程式

\[ f(x)=0 \]

の解 \(x=\alpha\) を求めたいです。

曲線 \(y=f(x)\) のグラフを描くと次のようになったとします。

ある点 \((x_0,0)\) を設定し、\(x=x_0\) における \(f(x)\) の接線 \(l_0\) を考えます。接線 \(l_0\) の方程式は

\[ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \]

です。接線 \(l_0\) と \(x\) 軸の交点を \((x_1,0)\) とすると

\[ 0=f'(x_0)(x_1-x_0)+f(x_0) \] \[ \therefore~x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \]

上図を見ると、\(x_1\) は \(x_0\) よりも、解 \(x=\alpha\) に近づいていることがわかります。

次に、\(x=x_1\) における \(f(x)\) の接線 \(l_1\) を考え、\(l_1\) と \(x\) 軸との交点を \((x_2,0)\) とすると、同様にして

\[ x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \]

上図を見ると、\(x_2\) は \(x_1\) よりも、解 \(x=\alpha\) に近づいていることがわかります。この操作を繰り返して

\[ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\quad (n=0,1,2,\cdots) \]

とすれば、数列 \(\{x_n\}\) は解 \(x=\alpha\) に収束することが期待されます。この手法をニュートン法といいます。

定義（ニュートン法）

\(C^1\) 級関数 \(f(x)\) に対して、方程式 \(f(x)=0\) の解を考える。

\[ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\quad (n=0,1,2,\cdots) \]

として、解の逐次近似列 \(\{x_n\}\) を構成する手法をニュートン法（ニュートン・ラフソン法）という。

定理（）

問題

解答