カイ二乗分布

カイ二乗分布の定義

定義（カイ二乗分布）

互いに独立な確率変数 \(Z_1,Z_2,\cdots, Z_n\sim N(0,1)\) に対して \[ X=Z_1^2+Z_2^2+\cdots+Z_n^2 \] で定まる \(X\) が従う確率分布を自由度 \(n\) のカイ二乗分布といい \[ X\sim \chi^2(n) \] と表す。

カイ二乗分布の確率密度関数

定理（カイ二乗分布の確率密度関数）

カイ二乗分布に従う確率変数の確率密度関数 \(f\) は \[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} & (\mathrm{if}~x\gt0)\\ 0 & (\mathrm{otherwise}) \end{cases} \] と表される。

カイ二乗分布に従う確率変数の期待値と分散

定理（カイ二乗分布に従う確率変数の期待値と分散）

確率変数 \(X\sim\chi^2(n)\) に対して \[ E[X]=n,~~~~~V[X]=2n \]

証明
\( \begin{align} E[X] &=\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx\\ &=\int_0^\infty x\cdot\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\\ &=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\int_0^\infty x^{\frac{n}{2}}e^{-\frac{x}{2}}dx\\ &=\frac{2}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\int_0^\infty (2t)^{\frac{n}{2}}e^{-t}dt~~~(x=2t)\\ &=\frac{2}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\int_0^\infty t^{\frac{n}{2}}e^{-t}dt\\ &=\frac{2}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)\\ &=\frac{2}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\cdot\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\\ &=n \end{align} \)