連続型同時確率分布
連続型同時確率分布
\(X,Y\) を連続型確率変数とするとき
\(a\le X\le b~~\) かつ \(~~c\le Y\le d\)
となる確率を \[ P(a\le X\le b,~c\le Y\le d) \] のように表します。
関数 \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) が次の条件を満たすとする。
- \(\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2:f(x,y)\ge0\)
- \(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dxdy=1\)
この \(f\) が連続型確率変数 \(X,Y\) に対して、\(D\subset\mathbb{R}^2\) として \[ P((X,Y)\in D)=\iint_D f(x,y)dxdy \] が成り立つとき、\(f\) を \(X,Y\) の同時確率密度関数という。
すなわち、\(a,b,c,d\in\mathbb{R}\) として \[ a\le X\le b,~~c\le Y\le d \] となる確率は、同時確率密度関数 \(f\) によって \[ \begin{align} P(a\le X\le b,~c\le Y\le d)&=\iint_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y)dxdy\\ &=\int_c^d\int_a^b f(x,y)dxdy \end{align} \] と求められます。
連続型同時確率変数の周辺分布
同時確率分布において、ある確率変数を固定して、その他の確率変数に関する確率の総和を周辺確率といいます。
連続型同時確率変数 \((X,Y)\) に対して
\[
f_X(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy
\]
で定まる関数 \(f_X\) を \(X\) の周辺確率密度関数という。
同様に
\[
f_Y(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dx
\]
で定まる関数 \(f_Y\) を \(Y\) の周辺確率密度関数という。
連続型確率変数の独立性
\(X,Y\) を連続型確率変数とし、同時確率密度関数を \(f\) 、各周辺確率密度関数を \(f_X,f_Y\) とするとき \[ \forall x,y,~~f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) \] が成り立つならば、確率変数 \(X\) と \(Y\) は互いに独立であるという。