連続型確率分布

連続型確率変数

確率変数 \(X\) が連続した値を取るとき、\(X\) を連続型確率変数といいます。

確率密度関数

定義（確率密度関数）

連続型確率変数 \(X\) に対して、次の性質を満たす関数 \(f(x)\) を \(X\) の確率密度関数という。

  1. \(\forall x \in \mathbb{R},~f(x) \ge 0\)
  2. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1\)
  3. 任意の区間 \([a,b] \subset \mathbb{R}\) に対して、次が成り立つ：
    \[ P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx \]

連続型確率変数の累積分布関数

連続型確率変数 \(X\) の累積分布関数は次式で表されます。

\[ F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt \]

確率密度関数と累積分布関数の関係

連続型確率変数 \(X\) の累積分布関数

\[ F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt \]

を微分してみます。
微分積分学の基本定理より

\[ \frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\int_{-\infty}^xf(t)dt=f(x) \]

が得られ、累積分布関数 \(F\) は確率密度関数 \(f\) の原始関数であるとわかります。
この関係を用いると、次のように確率を累積分布関数で表すことができます。

\[ P(a\le X\le b)=\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) \]

演習問題

問題

連続型確率変数 \(X\) の確率密度関数 \(f\) が \(a\in\mathbb{R}\) として次のように与えられている。以下の問いに答えよ。

\[ f(x)= \begin{cases} ax(4-x) & (0\le x\le 4)\\ 0 & (x\lt 0,~4\lt x) \end{cases} \]
  1. \(a\) の値を求めよ。
  2. \(P(1\le X\le 2)\) を求めよ。
  3. \(X\) の累積分布関数 \(F(x)\) を求めよ。
解答

  1. \(f\) が確率密度関数であるとき、\(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=1\) であるから

    \[ \begin{align} \int_{-\infty}^\infty f(x)dx &=\int_0^4ax(4-x)dx\\ &=a\int_0^4(4x-x^2)dx\\ &=a\left[2x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^4\\ &=\frac{32}{3}a \end{align} \]

    よって \(\displaystyle\frac{32}{3}a=1\) より \(a=\displaystyle\frac{3}{32}\)

  2. \[ \begin{align} P(1\le X\le 2) &=\int_1^2f(x)dx\\ &=\int_1^2\frac{3}{32}x(4-x)dx\\ &=\frac{3}{32}\left[2x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_1^2\\ &=\frac{11}{32} \end{align} \]

  3. \(x\lt 0\) のとき

    \[ F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt=0 \]

    \(0\le x\le4\) のとき

    \[ \begin{align} F(x)&=\int_{-\infty}^x f(t)dt\\ &=\int_{-\infty}^0 0dt+\int_0^x \frac{3}{32}t(4-t)dt\\ &=0+\frac{3}{32}\left[2t^2-\frac{1}{3}t^3\right]_0^x\\ &=-\frac{1}{32}x^3+\frac{3}{16}x^2 \end{align} \]

    \(4\lt x\) のとき

    \[ \begin{align} F(x)&=\int_{-\infty}^x f(t)dt\\ &=\int_{-\infty}^0 0dt+\int_0^4 \frac{3}{32}t(4-t)dt+\int_4^\infty 0dt\\ &=0+\frac{3}{32}\left[2t^2-\frac{1}{3}t^3\right]_0^4+0\\ &=-\frac{1}{32}x^3+\frac{3}{16}x^2\\ &=1 \end{align} \]

    したがって

    \[ F(x)= \begin{cases} 0 & (x\lt 0)\\ \displaystyle -\frac{1}{32}x^3+\frac{3}{16}x^2 & (0\le x\le4)\\ 1 & (4\lt x)\\ \end{cases} \]