指数分布
指数分布の定義
単位時間に平均 \(\lambda\) 回起こる事象が、\(x\) 単位時間の間隔で起こる確率を表す確率分布である。
定義（指数分布）
連続型確率変数 \(X\) の確率密度関数 \(f(x)\) が
\[
f(x)=
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} & (\mathrm{if}~x\gt0)\\
0 & (\mathrm{otherwise})
\end{cases}
\]
と表されるとき、\(X\) はパラメータ \(\lambda\) の指数分布に従うといい
\[
X\sim Ex(\lambda)
\]
と表す。
例題
1時間に平均20人が来店する飲食店がある。この飲食店にある客が来てから次の客が5分以内に来店する確率を求めよ。
客の来店間隔を \(X\) 時間とする。
\(X\sim Ex(20)\) であるから \(X\) の確率密度関数は \[ f(x)=20e^{-20x}~~~(x\gt0) \] である。求める確率は \[ \begin{align} P\left(0\lt X\le\frac{1}{12}\right) &=\int_0^{\frac{1}{12}}20e^{-20x}dx\\ &=\left[-e^{-20x}\right]_0^\frac{1}{12}\\ &=1-e^{-\frac{5}{3}}\\ &\fallingdotseq1-0.189\\ &=0.811 \end{align} \]
\(X\sim Ex(20)\) であるから \(X\) の確率密度関数は \[ f(x)=20e^{-20x}~~~(x\gt0) \] である。求める確率は \[ \begin{align} P\left(0\lt X\le\frac{1}{12}\right) &=\int_0^{\frac{1}{12}}20e^{-20x}dx\\ &=\left[-e^{-20x}\right]_0^\frac{1}{12}\\ &=1-e^{-\frac{5}{3}}\\ &\fallingdotseq1-0.189\\ &=0.811 \end{align} \]
指数分布に従う確率変数の期待値と分散
定理（指数分布に従う確率変数の期待値と分散）
\(X\sim Ex(\lambda)\) のとき
\[
E[X]=\frac{1}{\lambda},~~~~~V[X]=\frac{1}{\lambda^2}
\]
証明
\[
\begin{align}
E[X]
&=\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx\\
&=\int_0^\infty x\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx\\
&=\int_0^\infty x\left(-e^{-\lambda x}\right)'dx\\
&=\left[-xe^{-\lambda x}\right]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-\lambda x}dx\\
&=\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_0^\infty\\
&=\frac{1}{\lambda}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
V[X]
&=E[X^2]-E[X]^2\\
&=\int_{-\infty}^\infty x^2f(x)dx-\frac{1}{\lambda^2}\\
&=\int_0^\infty x^2\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx-\frac{1}{\lambda^2}\\
&=\int_0^\infty x^2\left(-e^{-\lambda x}\right)'dx-\frac{1}{\lambda^2}\\
&=\left[-x^2e^{-\lambda x}\right]_0^\infty+\int_0^\infty 2xe^{-\lambda x}dx-\frac{1}{\lambda^2}\\
&=\int_0^\infty2x\left(-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right)'dx-\frac{1}{\lambda^2}\\
&=\left[-\frac{2}{\lambda}xe^{-\lambda x}\right]_0^\infty+\int_0^\infty\frac{2}{\lambda}e^{-\lambda x}dx-\frac{1}{\lambda^2}\\
&=\left[-\frac{2}{\lambda^2}e^{-\lambda x}\right]_0^\infty-\frac{1}{\lambda^2}\\
&=\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}\\
&=\frac{1}{\lambda^2}
\end{align}
\]
指数分布の無記憶性
定理（指数分布の無記憶性）
\(X\sim Ex(\lambda)\) とし、\(s,t\in\mathbb{R}_{\ge0}\) とすると
\[
P(X\gt s+t~|~X\gt s)=P(X\gt t)
\]
が成り立つ。
証明
\[
\begin{align}
P(X\gt s+t~|~X\gt s)
&=\frac{P(X\gt s+t\land X\gt s)}{P(X\gt s)}\\
&=\frac{P(X\gt s+t)}{P(X\gt s)}\\
&=\frac{\int_{s+t}^\infty\lambda e^{-\lambda x}dx}{\int_{s}^\infty\lambda e^{-\lambda x}dx}\\
&=\frac{\left[-e^{-\lambda x}\right]_{s+t}^\infty}{\left[-e^{-\lambda x}\right]_{s}^\infty}\\
&=\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}\\
&=e^{-\lambda t}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
P(X\gt t)
&=\int_{t}^\infty\lambda e^{-\lambda x}dx\\
&=\left[-e^{-\lambda x}\right]_t^\infty\\
&=e^{-\lambda t}
\end{align}
\]
したがって
\[
P(X\gt s+t~|~X\gt s)=P(X\gt t)
\]
無記憶性を持つ確率分布は指数分布のみである。
演習問題
問題１