仮説検定

仮説検定とは

標本調査により得られたデータから仮説の真偽を判定する方法を仮説検定といいます。

データ \[ \boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_{n} \end{bmatrix} \] まず、母集団から \(n\) 個の無作為標本を抽出します。

正規母集団 \(N(\mu,\sigma^2)\) からの無作為標本を \[ \boldsymbol{X}=\begin{bmatrix} X_1 & X_2 & \cdots & X_{n} \end{bmatrix} \] とすると、この標本平均は \[ \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i \] となります。このとき

\[ \overline{X}\sim N\left(\mu,~\frac{\sigma^2}{n}\right) \] となるので \(\overline{X}\) を標準化すると \[ Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}\sim N(0,1) \] これが検定統計量となります。
標準正規分布に従う検定統計量を用いた検定を \(Z\) 検定といいます。

p値の計算

実現値を \(z\) とするとき、 \[ p=P(|Z|\ge z_0)=2\int_{z}^\infty f(z)dz \]