区間推定

未知母数 \(\theta\) に対して \[ P(Q_1\le\theta\le Q_2)=1-\alpha \] が成り立ち、\(Q_1,Q_2\) の実現値がそれぞれ \(q_1,q_2\) であるとき、区間 \([q_1,q_2]\) を母数 \(\theta\) に対する \(100(1-\alpha)\) %信頼区間といい、\(1-\alpha\) を信頼水準（信頼係数）という。

母集団分布が正規分布である母集団の母平均 \(\mu\) を推定する。

母分散が既知で \(\sigma^2\) である。

標本を抽出する

母集団から大きさ \(n\) の標本 \[ X_1,~X_2,~\cdots,~X_n \] を無作為に抽出すると \[ X_1,~X_2,~\cdots,~X_n\sim N(\mu,\sigma^2) \] である。

この標本の標本平均を \(\overline{X}\) とすると \[ \overline{X}\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \] である。

標準化する

\(\overline{X}\sim N\left(\mu,\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}\right)\) では正規分布表が使えないので、標準化を行う。 \[ Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \] とおくと \(Z\sim N(0,1)\) である。

信頼区間を求める

\(N(0,1)\) の両側 \(100\alpha\) %点を \(z_0\) とする。このとき \[ P(-z_0\le Z\le z_0)=1-\alpha \] となればよい。 \[ P\left(-z_0\le\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\le z_0\right)=1-\alpha \] を変形して \[ P\left(\overline{X}-z_0\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le\mu\le\overline{X}+z_0\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha \] したがって、母平均 \(\mu\) の \(100(1-\alpha)\) ％信頼区間は \[ \left[\overline{X}-z_0\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},~~~\overline{X}+z_0\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] \]