ポアソン分布

まず、次の問題を考える。

1日に発生する不良品の個数を \(X\) とすると \[ X\sim B\left(10000,\frac{1}{1000}\right) \] であり、求める確率は \[ P(X=10)={_{10000}\mathrm{C}_{10}}\left(\frac{1}{10000}\right)^{10}\left(\frac{9990}{10000}\right)^{9990} \] となる。しかし、これを直接計算するのは現実的ではない。このように \(n\) が大きく、\(p\) が小さい場合、二項分布は扱いにくい。

二項分布の確率関数 \[ P(X=k)={_n\mathrm{C}_k}p^k(1-p)^{n-k} \] において \(np=\lambda\) として \(n\to\infty\) とする極限を考えると \[ \begin{align} &\lim_{n\to\infty}P(X=k)\\ &=\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n-k)!k!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\lambda^k}{k!}\cdot\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\lambda^k}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\left\{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-\frac{n}{\lambda}}\right\}^{-\lambda}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}\\ &=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{align} \] このことから、次のような分布を定義する。