確率の定義

確率論の理論的な土台を与える数学的な枠組みを確率空間という。確率空間は「標本空間 \(\Omega\)」、「事象の集合族 \(\mathcal{F}\)」、「確率測度 \(P\)」の3要素で構成され、\((\Omega,\mathcal{F},P)\) と書かれる。

ある試行で起こり得るすべての結果の集合を標本空間という。通常、標本空間は \(\Omega\) と書かれる。

以下に標本空間 \(\Omega\) の具体例を示す。

・サイコロを1回振る場合 \[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \] ・2つのサイコロを振る場合 \[ \Omega=\{(1,1),(1,2),\cdots,(6,6)\} \] ・コインを1回投げる場合 \[ \Omega=\{\text{表},\text{裏}\} \]

標本空間 \(\Omega\) の部分集合を事象という。

以下に事象の具体例を示す。

サイコロを1回振る場合 \((\Omega=\{1,2,3,4,5,6\})\)

・「偶数の目が出る」事象 \(A\) \[ A=\{2,4,6\} \]

・「5以上の目が出る」事象 \(B\) \[ B=\{5,6\} \]

・「2の目が出る」事象 \(C\) \[ C=\{2\} \] 事象 \(C\) のように、これ以上分割できない事象を根元事象という。

事象の集まりのことを事象の集合族という。つまり、事象 \(A_1,A_2,\cdots\) に対して、その集合族 \(\mathcal{F}\) は \[ \mathcal{F}=\{A_1,A_2,\cdots\} \] である。

事象に対して確率を割り当てる関数を確率測度という。通常、\(P\) で表され \[ P:\mathcal{F}\to[0,1] \] のように、事象の集合族 \(\mathcal{F}\) から 0以上1以下の実数を返す関数である。ただし、確率測度であるためには次の公理を満たす必要がある。