確率変数と累積分布関数
確率変数
試行の結果を数値として表現するために、確率変数を導入します。
標本空間 \(\Omega\) を定義域とする関数
\[
X:\Omega\to\mathbb{R}
\]
を確率変数という。
標本点を \(\omega\in\Omega\) に対して
\[
\omega\mapsto X(\omega)
\]
によって、各試行結果を実数に対応させる。
確率変数の例
サイコロを１回振る試行を考えます。
このとき、標本空間は \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\) です。
-
出た目の数を表す確率変数 \(X\)
\[ X(\omega) = \omega \quad (\omega\in\Omega) \]このように、標本点をそのまま数値として扱う確率変数は、最も基本的な例です。
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出る目が奇数なら１、偶数なら０を値とする確率変数 \(X\)
\[ X(\omega)= \begin{cases} 1 & (\omega=1,~3,~5)\\ 0 & (\omega=2,~4,~6) \end{cases} \]このように、確率変数は単に数を対応させるだけでなく、試行結果に含まれる性質や分類を数値で表す役割も果たします。
離散型確率変数と連続型確率変数
確率変数には離散型と連続型の２種類があります。
離散型確率変数：値域が高々可算である確率変数
連続型確率変数：分布関数が連続である確率変数
確率変数がある値をとる確率
確率変数 \(X\) がある値 \(x\) を取る確率は、事象 \(\{X=x\}\) が起こる確率と捉えて \[ P(\{X=x\}) \] となりますが、\(\{~\}\) を省略して \[ P(X=x) \] と表すことが多いです。
また、確率変数 \(X\) が \(a\) 以上 \(b\) 以下を取る確率は \[ P(a\le X\le b) \] と表します。他の不等号の場合も同様です。
累積分布関数
確率変数 \(X\) に対して \[ F(x)=P(X\le x) \] で定義される関数 \(F\) を \(X\) の累積分布関数という。
累積分布関数 \(F(x)\) に対して、以下が成り立つ。
- \(a\le b\) ならば \(F(a)\le F(b)\)
- \(\displaystyle\lim_{x\to a+0}F(x)=F(a)\)
- \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}F(x)=0,\quad \lim_{x\to\infty}F(x)=1\)