歪度と尖度
歪度
歪度とは、分布の非対称性を表す指標です。
確率変数 \(X\) の平均を \(\mu\) 、分散を \(\sigma^2\) とするとき \[ \beta_1=\frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} \] を確率分布の歪度という。
この歪度 \(\beta_1\) について、次のことがいえます。
\(\beta_1\gt0\) ならば、右に裾が長い
\(\beta_1\lt0\) ならば、左に裾が長い
尖度
尖度とは、分布のピークの鋭さを表す指標です。
確率変数 \(X\) の平均を \(\mu\) 、分散を \(\sigma^2\) とするとき \[ \beta_2=\frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} \] を確率分布の尖度という。
定義より、\(\beta_2\ge0\) です。
この尖度 \(\beta_2\) について、次のことがいえます。
\(\beta_2\) が大きいと、分布のピークは鋭くなる
また、正規分布の尖度は \(3\) であることから、これを基準として \[ \tilde{\beta_2}=\beta_2-3=\frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}-3 \] を尖度として用いることもあります。