2標本による母平均の差の検定

母平均の差の検定統計量（z検定）

2つの母集団からそれぞれ無作為標本を抽出します。
正規母集団 \(N(\mu_1,\sigma_1^2)\) から抽出した \(m\) 個の無作為標本を \[ X_1,~~~X_2,~~~\cdots,~~~X_{m} \] 正規母集団 \(N(\mu_2,\sigma_2^2)\) から抽出した \(n\) 個の無作為標本を \[ Y_1,~~~Y_2,~~~\cdots,~~~Y_{n} \] とするとき、それぞれの標本平均は \[ \overline{X}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mX_i,~~~~~\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nY_i \] となります。

正規分布の再生成より \[ \overline{X}-\overline{Y}\sim N\left(\mu_1-\mu_2,~\frac{\sigma_1^2}{m}+\frac{\sigma_2^2}{n}\right) \] \(\overline{X}-\overline{Y}\) を標準化すると \[ Z=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m}+\frac{\sigma_2^2}{n}}}\sim N(0,1) \] これが検定統計量となります。