母平均の検定（Z検定）

母平均の検定統計量（母分散既知）

母集団を正規母集団と仮定します。
正規母集団 \(N(\mu,\sigma^2)\) から抽出した \(n\) 個の無作為標本を \[ X_1,~~~X_2,~~~\cdots,~~~X_{n} \] とすると、この標本平均は \[ \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i \] となります。このとき

\[ \overline{X}\sim N\left(\mu,~\frac{\sigma^2}{n}\right) \] となるので \(\overline{X}\) を標準化すると \[ Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}\sim N(0,1) \] これが検定統計量となります。
標準正規分布に従う検定統計量を用いた検定を \(Z\) 検定といいます。

例題（棄却域法）

1. 帰無仮説・対立仮説を立てる

母平均を \(\mu\) として、次のように仮説を立てます。

よって、両側検定を行います。

2. 検定統計量を計算する

検定統計量を \[ Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1) \] とすると、\(Z\) の実現値 \(z\) は \[ z=\frac{197.8-200}{\frac{5}{\sqrt{25}}}=-2.2 \] となります。

3. 有意水準を決める

本問では有意水準 \(\alpha\) は \(5\%\) と与えられているので \[ \alpha=0.05 \] です。

4. 棄却域を求める

両側 \(5\%\) 点を求めます。
両側 \(5\%\) 点とは \[ P(Z\le -z_{0.025})+P(Z\ge z_{0.025})=0.05 \] となるような \(z_{0.025}\) です。 \[ P(Z\le -z_{0.025})=P(Z\ge z_{0.025}) \] より \[ P(Z\ge z_{0.025})=0.025 \] を考えればよく、標準正規分布表より \[ z_{0.025}=1.96 \] とわかります。
したがって、棄却域は \[ z\le-1.96,~~~1.96\le z \] となります。

検定統計量の実現値が棄却域に入るかを見る

検定統計量の実現値は \[ z=-2.2 \] であり、これは棄却域 \[ z\le-1.96,~~~1.96\le z \] に入ります。
よって、帰無仮説 \(H_0\) を棄却し、対立仮説 \(H_1\) を採択します。
\(1\) 杯のコーヒーの量の平均は \(200~\mathrm{mL}\) と異なると言えます。

例題（p値法）

今度は先ほどの例題をp値法を使って行います。

1. 帰無仮説・対立仮説を立てる

母平均を \(\mu\) として、次のように仮説を立てます。

よって、両側検定を行います。

2. 検定統計量を計算する

検定統計量を \[ Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1) \] とすると、\(Z\) の実現値 \(z\) は \[ z=\frac{197.8-200}{\frac{5}{\sqrt{25}}}=-2.2 \] となります。

3. 有意水準を定める

本問では有意水準 \(\alpha\) は \(5\%\) と与えられているので \[ \alpha=0.05 \] です。ここまでは棄却域法と同様です。

4. p値を計算する

\[ \begin{align} p&=P(|Z|\ge |z|)\\ &=P(|Z|\ge 2.2)\\ &=P(Z\le-2.2)+P(Z\ge 2.2)\\ &=2P(Z\ge 2.2)\\ &=2\cdot 0.0139~~~(\because\text{標準正規分布表より})\\ &=0.0278 \end{align} \]

5. p値が有意水準未満かを見る

有意水準 \(\alpha\) と p値 \(p\) は \[ \alpha=0.05,~~~~~p=0.0278 \] なので \[ p\lt\alpha \] となり、p値が有意水準を満たないことがわかります。
よって、帰無仮説 \(H_0\) を棄却し、対立仮説 \(H_1\) を採択します。
\(1\) 杯のコーヒーの量の平均は \(200~\mathrm{mL}\) と異なると言えます。
このように、棄却域法のときと同じ結論が得られます。