一様分布
一様分布の定義
定義（一様分布）
連続型確率変数 \(X\) の確率密度関数 \(f\) が
\[
f(x)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{1}{b-a} & (\mathrm{if}~ a\le x\le b)\\
0 & (\mathrm{otherwise})
\end{cases}
\]
であるとき、\(X\) は区間 \([a,b]\) 上の一様分布に従うといい
\[
X\sim U(a,b)
\]
と表す。
一様分布に従う確率変数の期待値と分散
定理（一様分布に従う確率変数の期待値と分散）
\(X\sim U(a,b)\) のとき
\[
E[X]=\frac{a+b}{2},~~~~~V[X]=\frac{(b-a)^2}{12}
\]
証明
\(
\begin{align}
E[X]
&=\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^a x\cdot0dx+\int_a^bx\cdot\frac{1}{b-a}dx+\int_b^\infty x\cdot0dx\\
&=\frac{1}{b-a}\int_a^bxdx\\
&=\frac{1}{b-a}\left[\frac{1}{2}x^2\right]_a^b\\
&=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{b^2-a^2}{2}\\
&=\frac{a+b}{2}
\end{align}
\)
\(
\begin{align}
V[X]
&=E[X^2]-E[X]^2\\
&=\int_{-\infty}^\infty x^2f(x)dx-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\\
&=\int_a^bx^2\cdot\frac{1}{b-a}dx-\frac{(a+b)^2}{4}\\
&=\frac{1}{b-a}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_a^b-\frac{(a+b)^2}{4}\\
&=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{b^3-a^3}{3}-\frac{(a+b)^2}{4}\\
&=\frac{a^2+ab+b^2}{3}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\\
&=\frac{(b-a)^2}{12}
\end{align}
\)
演習問題
問題１
確率変数 \(X\sim U(1,3)\) に対して、\(P(X\le4)\) を求めよ。
解答
確率密度関数は
\[
f(x)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{1}{2} & (\mathrm{if}~ 1\le x\le 3)\\
0 & (\mathrm{otherwise})
\end{cases}
\]
であるから
\[
\begin{align}
P(X\le4)&=\int_{-\infty}^4f(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^10dx+\int_1^3\frac{1}{2}dx+\int_3^40dx\\
&=1
\end{align}
\]