離散型確率分布
離散型確率変数
確率質量関数
離散型確率変数 \(X\) に対して、次の性質を満たす関数 \(f_X(x)\) を \(X\) の確率質量関数という。
- \(f_X(x)=P(X=x) \quad (x\in\mathbb{R}) \)
- \(\forall x\in\mathbb{R},~f_X(x)\ge0\)
- \(\displaystyle\sum_xf_X(x)=1\)
ある街角のコーヒースタンドでは、次の4種類のコーヒーを販売している。 このお店では、苦味が強いコーヒーはあまり売れず、甘めのコーヒーほど売れやすい傾向がある。 以下に、各コーヒーの種類と苦味の強さ（大きいほど苦味が強い）を示す。
| コーヒーの種類 | 苦味の強さ |
|---|---|
| カフェラテ | \(1\) |
| カプチーノ | \(2\) |
| アメリカーノ | \(3\) |
| エスプレッソ | \(4\) |
苦味の強さを \(X\) とする。 あるコーヒーが注文される確率は、苦味の強さの逆数に比例するとして、確率質量関数を定数 \(a\) を用いて次のように定めた。
- 定数 \(a\) の値を求めよ。
- エスプレッソが注文される確率を求めよ。
- カフェラテまたはカプチーノが注文される確率を求めよ。
解答
-
\(\displaystyle\sum_xf_X(x)=1\) であるから
\[ \begin{align} &\sum_{x=1}^4\frac{a}{x}=1\\ &\Longleftrightarrow a\sum_{x=1}^4\frac{1}{x}=1\\ &\Longleftrightarrow a\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)=1\\ &\Longleftrightarrow a\cdot\frac{25}{12}=1\\ &\Longleftrightarrow a=\frac{12}{25} \end{align} \] -
(1)より \(f_X(x)=\displaystyle\frac{12}{25x}\) である。 求める確率は
\[ f_X(4)=\frac{12}{25\cdot4}=\frac{3}{25} \] -
求める確率は
\[ f_X(1)+f_X(2)=\frac{12}{25\cdot1}+\frac{12}{25\cdot2}=\frac{18}{25} \]
離散型確率変数の累積分布関数
離散型確率変数の累積分布関数は次式で表されます。