期待値と分散

期待値

期待値とは、確率変数がどのくらいの値をとるのかを示す指標です。

定義（離散型確率変数の期待値）

離散型確率変数 \(X\) の確率質量関数を \(f(x)\) とする。 このとき、関数 \(g\) に対して

\[ E[g(X)]=\sum_xg(x)f(x) \]

を \(g(X)\) の期待値という。

定義（連続型確率変数の期待値）

連続型確率変数 \(X\) の確率密度関数を \(f(x)\) とする。 このとき、関数 \(g\) に対して

\[ E[g(X)]=\int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)dx \]

を \(g(X)\) の期待値という。

特に \(E[X]\) は \(\mu\) とも書き、平均値といいます。

定理（期待値の性質）

確率変数 \(X\) と \(a,b\in\mathbb{R}\) に対して、次が成り立つ。

\[ E[aX+b]=aE[X]+b \]
証明

・\(X\) が離散型確率変数の場合
\(X\) の確率質量関数を \(f(x)\) とすると

\( \begin{align} E[aX+b]&=\sum_{x}(ax+b)f(x)\\ &=\sum_{x}(axf(x)+bf(x))\\ &=a\sum_{x}xf(x)+b\sum_{x}f(x)\\ &=aE[X]+b \end{align} \)

・\(X\) が連続型確率変数の場合
\(X\) の確率密度関数を \(f(x)\) とすると

\( \begin{align} E[aX+b]&=\int_{-\infty}^\infty(ax+b)f(x)dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty(axf(x)+bf(x))dx\\ &=a\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx+b\int_{-\infty}^\infty f(x)dx\\ &=aE[X]+b \end{align} \)

分散と標準偏差

定義（分散・標準偏差）

確率変数 \(X\) に対して

\[ V[X]=E[(X-E[X])^2] \]

を \(X\) の分散という。

また、分散の正の平方根 \(\sqrt{V[X]}\) を標準偏差という。

\(V[X]\) は \({\sigma}^2\) 、標準偏差は \(\sigma\) とも書かれます。

定理（分散の性質）

確率変数 \(X\) と \(a,b\in\mathbb{R}\) に対して、次が成り立つ。

  1. \(V[X]=E[X^2]-E[X]^2\)
  2. \(V[aX+b]=a^2V[X]\)
証明
  1. \( \begin{align} V[X]&=E\left[(X-E[X])^2\right]\\ &=E[X^2-2E[X]X+E[X]^2]\\ &=E[X^2]-2E[X]\cdot E[X]+E[X]^2\\ &=E[X^2]-E[X]^2 \end{align} \)
  2. \( \begin{align} V[aX+b]&=E[(aX+b)^2]-E[aX+b]^2\\ &=E[a^2X^2+2abX+b^2]-(aE[X]+b)^2\\ &=a^2E[X^2]+2abE[X]+b^2-a^2E[X]^2-2abE[X]-b^2\\ &=a^2E[X^2]-a^2E[X]^2\\ &=a^2(E[X^2]-E[X]^2)\\ &=a^2V[X] \end{align} \)

演習問題

問題
解答