積率と積率母関数

積率（モーメント）

分散、歪度、尖度の定義式を見ると、いずれも

\[ E[(X-\mu)^k] \]

という形が入っており、この量で確率分布の形が決定されていることがわかります。このことから、次の量を定義します。

定義（モーメント）

確率変数 \(X\) に対して

\[ E[X^k] \]

を \(X\) の \(k\) 次モーメント（積率）という。

また、\(\mu=E[X]\) とするとき

\[ \mu_k=E[(X-\mu)^k] \]

を \(X\) の \(k\) 次の中心モーメントという。

すべての次数のモーメントを生成する母関数を定義します。

定義（モーメント母関数）

確率変数 \(X\) に対して

\[ M_X(t)=E[e^{tX}] \quad (t\in\mathbb{R}) \]

を \(X\) のモーメント母関数（積率母関数）という。

モーメント母関数により、期待値、分散、歪度、尖度などを、煩雑な計算をすることなく、簡単な微分計算によって求めることができます。

\(e^x\) のマクローリン展開は次式で表されます。

\[ e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots \]

この式の \(x\) に \(tX\) を代入すると

\[ e^{tX}=1+tX+\frac{1}{2!}(tX)^2+\frac{1}{3!}(tX)^3+\cdots \]

となり、両辺の期待値をとると

\[ M_X(t)=1+tE[X]+\frac{1}{2!}t^2E[X^2]+\frac{1}{3!}t^3E[X^3]+\cdots \]

となります。

\(M_X(t)\) を \(t\) で微分すると

\[ M_X'(t)=E[X]+\frac{1}{1!}tE[X^2]+\frac{1}{2!}t^2E[X^3]+\cdots \]

ここで、\(t=0\) とすると

\[ M_X'(0)=E[X] \]

となり、期待値が求められます。

同様にして、次が成り立ちます。

\[ M_X^{(k)}(0)=E[X^k] \]

定理（積率母関数の性質）

確率変数 \(X\) と \(Y\) の積率母関数をそれぞれ \(M_X(t),M_Y(t)\) とすると、次が成り立つ。

問題

解答