正規分布

正規分布の定義

定義（正規分布）

連続型確率変数 \(X\) の確率密度関数 \(f\) が \(\mu\in\mathbb{R},~\sigma\gt 0\) として

\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\} \]

であるとき、\(X\) は平均 \(\mu\) 、分散 \(\sigma^2\) の正規分布に従うといい

\[ X\sim N(\mu,\sigma^2) \]

と表す。

特に、\(N(0,1)\) を標準正規分布という。

正規分布での確率の計算

確率変数 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) が \(a\) 以上 \(b\) 以下となる確率は

\[ P(a\le X\le b)=\int_a^b\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}dx \]

で与えられます。 このままでは複雑なので

\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma},\quad z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]

という変数変換を考えると

\[ \begin{align} P(a\le X\le b)&=\int_a^b\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}dx\\ &=\int_{\frac{a-\mu}{\sigma}}^{\frac{b-\mu}{\sigma}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)\cdot\sigma dz\\ &=\int_{\frac{a-\mu}{\sigma}}^{\frac{b-\mu}{\sigma}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)dz \end{align} \]

となります。 ここで

\[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right) \]

は標準正規分布 \(N(0,1)\) の確率密度関数です。 つまり

\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1) \]

となることがわかります。 標準正規分布の上側確率である

\[ Q(z)=\int_z^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)dt \]

または

\[ \Phi(z)=\int_0^z\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)dt \]

値の近似値は、正規分布表という表にまとめられているため、そこから正規分布の確率が求められます。

例題

確率変数 \(X\sim N(20,5)\) に対して、次の確率を求めよ。

  1. \(P(10 \le X \le 15)\)
  2. \(P(X\gt30)\)

二項分布の正規近似

定理（ド・モアブル-ラプラスの定理）

確率変数 \(X\) が二項分布 \(B(n,p)\) に従うとき、\(n\) が十分大きいならば、\(X\) の分布は正規分布 \(N(np,np(1-p))\) で近似される。

離散型の確率分布の正規近似

離散型の確率分布を連続型の確率分布に近似するとき、補正する必要があります。 離散型確率変数 \(X\) が \(m\le X\le n~~~(m,n\in\mathbb{Z})\) となる確率を求めるとき

\[ \begin{align} P(m\le X\le n) &= \sum_{x=m}^nP(X=x) \\ &= \sum_{x=m}^nP(X=x)\cdot1 \\ &\fallingdotseq\int_{m+0.5}^{n+0.5}f(x)dx \end{align} \]

であるから、\(X\) を連続型と近似する場合は

\[ P(m+0.5\le X\le n+0.5) \]

を考えなければなりません。

演習問題

問題１

ある大学の男子の身長を調査したところ、平均 \(170\mathrm{cm}\)、標準偏差 \(5\mathrm{cm}\) の正規分布に従うことが分かった。 以下の問いに答えよ。

  1. 身長 \(180\mathrm{cm}\) 以上の人は約何 \(\%\) いるか。
  2. 身長 \(165\mathrm{cm}\) 以上 \(175\mathrm{cm}\) 以下の人は約何 \(\%\) いるか。
  3. 身長の高い方から \(3\%\) の中に入るのは、約何 \(\mathrm{cm}\) 以上の人か。
解答

身長を \(X\) とすると、\(X\sim N(170,~5^2)\) であるから

\[ Z=\displaystyle\frac{X-170}{5}\sim N(0,~1) \]
  1. \(\begin{align} P(X\ge 180)&=P\left(Z\ge \displaystyle\frac{180-170}{5}\right) \\ &=P(Z\ge 2) \\ &=0.5-\Phi(2) \\ &=0.5-0.4772 \\ &=0.0228 \end{align}\)

    よって、約 \(2.3\%\) いる。

問題２

表の出る確率が \(0.5\) であるコインを \(1000\) 回投げるとき、 表が \(460\) 回以上 \(520\) 回以下である確率を正規近似を用いて求めよ。

解答

表が出る回数を \(X\) とすると、\(X\sim B(1000,~0.5)\) である。
正規近似により \(X\sim N(500,250)\) が成り立つ。
\(Z=\displaystyle\frac{X-500}{\sqrt{250}}\) とおくと、\(Z\sim N(0,1)\) となる。
求める確率は半整数補正を施して

\[ \begin{align} P(460.5\le X\le520.5)&=P\left(\frac{460.5-500}{\sqrt{250}}\le Z\le\frac{520.5-500}{\sqrt{250}}\right)\\ &=P(-2.50\le Z\le1.30)\\ &=\Phi(2.50)+\Phi(1.30)\\ &=0.4938+0.4032\\ &=0.8977 \end{align} \]