ポアソン分布

ポアソン分布の定義

まず、次の例題を考えます。

例題

ある工場では、1日に1万個の製品を生産しており、1つの製品が不良品となる確率は0.001%である。1日に不良品が10個発生する確率を求めよ。

1日に発生する不良品の個数を \(X\) とすると

\[ X\sim B\left(10000,\frac{1}{1000}\right) \]

であり、求める確率は

\[ P(X=10)={_{10000}\mathrm{C}_{10}}\left(\frac{1}{10000}\right)^{10}\left(\frac{9990}{10000}\right)^{9990} \]

となります。しかし、これを直接計算するのは現実的ではありません。このように \(n\) が非常に大きく、\(p\) が非常に小さい場合、二項分布では扱いにくいです。

そこで、二項分布の確率質量関数

\[ P(X=k)={_n\mathrm{C}_k}p^k(1-p)^{n-k} \]

において、\(n\) が大きく、\(p\) が小さい場合を考察してみます。

\[ \lambda:=np~~\Longleftrightarrow~~p=\frac{\lambda}{n} \]

とすると、\(n\to\infty\) のとき \(p\to0\) となります。

\(P(X=k)\) において、\(n\to\infty\) の極限を考えてみます。

\[ \begin{align} &\lim_{n\to\infty}P(X=k)\\ &=\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n-k)!k!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\lambda^k}{k!}\cdot\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\lambda^k}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\left\{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-\frac{n}{\lambda}}\right\}^{-\lambda}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}\\ &=\frac{\lambda^k}{k!}(1-0)\cdots(1-0)e^{-\lambda}(1-0)^{-k}\\ &=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{align} \]

つまり、\(n\) が非常に大きく、\(p\) が非常に小さいとき、\(\lambda=np\) として

\[ P(X=k)={_n\mathrm{C}_k}p^k(1-p)^{n-k}\approx\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \]

と近似できることがわかりました。このことから、次の分布を定義します。

定義（ポアソン分布）

離散型確率変数 \(X\) の確率質量関数が \(\lambda\gt0\) として

\[ f(x)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} \quad (x=0,1,2,\cdots)\\ \]

であるとき、\(X\) は母数 \(\lambda\) のポアソン分布に従うといい

\[ X\sim Po(\lambda) \]

と表す。

\(\lambda=2\) でのポアソン分布 \(Po(2)\) は下のグラフのようになります。

ポアソン分布の期待値と分散

定理（ポアソン分布の期待値と分散）

\(X\sim Po(\lambda)\) のとき

\[ E[X]=\lambda,\quad V[X]=\lambda \]

ポアソン分布の再生性

定理（ポアソン分布の再生性）

確率変数 \(X_1\sim Po(\lambda_1),~X_2\sim Po(\lambda_2)\) に対して

\[ X_1+X_2\sim Po(\lambda_1+\lambda_2) \]

が成り立つ。

演習問題

問題

\(1\%\) の確率で当たりが出るくじがある。このくじに \(100\) 回挑戦するとき、当たりが少なくとも１回出る確率を求めよ。また、ポアソン分布での近似を使った確率を求めよ。ただし、引いたくじはもとに戻すものとする。

解答

当たりが出る回数を \(X\) とすると、\(X\sim B(100,0.01)\) であるから、求める確率は

\[ \begin{align} P(X\ge1)&=1-P(X\lt1)\\ &=1-P(X=0)\\ &=1-{_{100}\mathrm{C}_0}\cdot0.01^0\cdot(1-0.01)^{100}\\ &=1-0.99^{100}\\ &=1-0.366\\ &=0.634 \end{align} \]

ポアソン分布での近似を使うとき、\(\lambda=100\cdot0.01=1\) より、\(X\sim Po(1)\) であるから

\[ P(X\ge1)=1-\frac{1^0}{0!}e^{-1}=1-\frac{1}{e}=1-0.369=0.631 \]