確率変数と累積分布関数

確率変数

試行の結果を数値として表現するために、確率変数を導入します。

定義（確率変数）

標本空間 \(\Omega\) を定義域とする関数

\[ X:\Omega\to\mathbb{R} \]

を確率変数という。 標本点 \(\omega\in\Omega\) に対して

\[ \omega\mapsto X(\omega) \]

によって、各試行結果を実数に対応させる。

また、値域が高々可算である確率変数を離散型確率変数といい、分布関数が連続である確率変数を連続型確率変数という。

確率変数の例を示します。 サイコロを１回振る試行を考えます。 このとき、標本空間は \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\) です。

例（確率変数の例１）

出た目の数を表す確率変数 \(X\) は

\[ X(\omega) = \omega \quad (\omega\in\Omega) \]
例（確率変数の例２）

出る目が奇数なら１、偶数なら０を値とする確率変数 \(X\) は

\[ X(\omega)= \begin{cases} 1 & (\omega=1,~3,~5)\\ 0 & (\omega=2,~4,~6) \end{cases} \]

例１のように、標本点をそのまま数値として扱う確率変数は、最も基本的な例です。 例２のように、確率変数は単に数を対応させるだけでなく、試行結果に含まれる性質や分類を数値で表す役割も果たします。

確率変数がある値をとる確率

確率変数 \(X\) がある値 \(x\) を取る確率は、事象 \(\{X=x\}\) が起こる確率と捉えて

\[ P(\{X=x\}) \]

と表されますが、\(\{~\}\) を省略して

\[ P(X=x) \]

と書くことが多いです。

また、確率変数 \(X\) が \(a\) 以上 \(b\) 以下を取る確率は

\[ P(a\le X\le b) \]

と表します。 他の不等号の場合も同様です。

累積分布関数

定義（累積分布関数）

確率変数 \(X\) に対して

\[ F_X(x):=P(X\le x) \]

で定義される関数 \(F_X(x)\) を \(X\) の累積分布関数という。

定理（累積分布関数の性質）

累積分布関数 \(F_X(x)\) に対して、以下が成り立つ。

  1. \(a\le b\) ならば \(F_X(a)\le F_X(b)\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x\to a+0}F_X(x)=F_X(a)\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}F_X(x)=0,\quad \lim_{x\to\infty}F_X(x)=1\)