歪度と尖度

歪度

分布の非対称性を表す指標として、歪度を定義します。

定義（歪度）

確率変数 \(X\) の平均を \(\mu\) 、分散を \(\sigma^2\) とするとき

\[ \beta_1=\frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} \]

を\(X\) の確率分布の歪度という。

\(\beta_1\gt0\) ならば右に裾が長く、\(\beta_1\lt0\) ならば左に裾が長いです。また、\(|\beta_1|\) はその程度を表します。

定義式のままでは計算が大変なことが多いので

\[ \begin{align} E[(X-\mu)^3] &= E[X^3-3X^2\mu+3X\mu^2-\mu^3]\\ &= E[X^3]-3\mu E[X^2]+3\mu^2 E[X]-\mu^3\\ &= E[X^3]-3\mu E[X^2]+3\mu^2 \mu-\mu^3\\ &= E[X^3]-3\mu E[X^2]+2\mu^3 \end{align} \]

を用いて計算します。

尖度

分布のピークの鋭さを表す指標として、尖度を定義します。

定義（尖度）

確率変数 \(X\) の平均を \(\mu\) 、分散を \(\sigma^2\) とするとき

\[ \beta_2=\frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} \]

を \(X\) の確率分布の尖度という。

定義より、\(\beta_2\ge0\) です。 \(\beta_2\) が大きいと、分布のピークは鋭くなります。

また、上記の定義での尖度において、正規分布の尖度は \(3\) であることから、これを基準として

\[ \tilde{\beta_2}=\beta_2-3=\frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}-3 \]

を尖度として定義することもあります。

演習問題

問題

解答