総乗の定義と性質
総乗の定義と性質
定義（総乗記号）
数列 \(\{a_n\}\) に対して
\[
\prod_{k=1}^na_k=a_1\times a_2\times\cdots\times a_n
\]
として記号 \(\prod\) を定義する。
\(\displaystyle\prod_{k=m}^na_k\) は \(\{a_n\}\) の第 \(m\) 項から第 \(n\) 項までの積を表す。
記号Πは積（product）の頭文字Pに対応するギリシャ文字である。
定理（総乗の結合性）
\[
\prod_{k=m}^n(a_k\cdot b_k)=\prod_{k=m}^na_k\cdot\prod_{k=m}^nb_k
\]
総乗の公式
定理（総乗の公式）
\(c\) は \(k\) に無関係な定数とする。
- \(\displaystyle\prod_{k=1}^nc=c^n\)
- \(\displaystyle\prod_{k=1}^nk=n!\)
- \(\displaystyle\prod_{k=1}^n(k+c)=\frac{(n+c)!}{c!}\)
証明
総乗と総和の関係
演習問題
問題