有界集合と上限・下限

上界と下界

定義（上に有界・下に有界・上界・下界）

\(A\subset\mathbb{R}\) を空でない集合とする。

\[ \exists M\in\mathbb{R},~\forall x\in A:x\le M \]

が成り立つとき、\(A\) は上に有界であるといい、\(M\) を \(A\) の上界という。

\[ \exists m\in\mathbb{R},~\forall x\in A:m\le x \]

が成り立つとき、\(A\) が下に有界であるといい、\(m\) を \(A\) の下界という。

定義（有界集合）

集合 \(A\subset\mathbb{R}\) が上に有界かつ下に有界である、すなわち

\[ \exists m,M\in\mathbb{R},~\forall x\in A:m\le x\le M \] が成り立つとき、\(A\) は有界集合であるという。

「有界集合である」は単に「有界である」とも言います。

上限と下限

定理（ワイエルシュトラスの定理）

空でない集合 \(A\subset\mathbb{R}\) に対して次が成り立つ。

  1. \(A\) が上に有界であるとき、\(A\) の上界の最小値が存在する。
  2. \(A\) が下に有界であるとき、\(A\) の下界の最大値が存在する。

この定理から、次の「上限」と「下限」が定義できます。

定義（上限・下限）

\(A\) を空でない実数 \(\mathbb{R}\) の集合とする。

\(A\) の上界の最小値を \(A\) の上限（最小上界）といい

\[ \sup A \]

と書く。

\(A\) の下界の最大値を \(A\) の下限（最大下界）といい

\[ \inf A \]

と書く。

例えば、\(f(x)=x\) を \(x\lt 1\) で考えると、最大値は存在しませんが、上限は存在して \(1\) となります。

演習問題

問題

次の集合は上に有界か下に有界か、あるいは有界集合であるかを答えよ。

  1. \(A=(-\infty,5]\)
  2. \(B=[-2,8]\)
  3. \(C=[7,\infty)\)
  4. \(\mathbb{Z}\)
解答
  1. \(A\) は上に有界である。
  2. \(B\) は有界である。
  3. \(C\) は下に有界である。
  4. \(\mathbb{Z}\) は上にも下にも有界でない。