集合の直積
順序対
まず、順序対を定義する。
定義（順序対）
2つの対象に対して、並べる順番を考慮した組を順序対という。
1番目の要素を第1成分、2番目の要素を第2成分と呼ぶ。
第1成分が \(a\in A\) 、第2成分が \(b\in B\) の順序対を
\[
(a,b)
\]
と書く。
\(a,b\) が異なるとき
\[
\{a,b\}=\{b,a\}~~~~~\text{(集合)}
\]
であるが
\[
(a,b)\neq(b,a)~~~~~\text{(順序対)}
\]
であることに注意する。
直積
定義（直積）
集合 \(A,B\) に対して
\[
A\times B:=\{(a,b)~|~a\in A~\text{かつ}~b\in B\}
\]
を \(A\) と \(B\) の直積（カルテシアン積）という。
特に、同じ集合同士の直積 \(A\times A\) は \(A^2\) と書く。
直積の例
\[
\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2=\{(x,y)~|~x,y\in\mathbb{R}\}
\]
これは \(xy\) 平面全体を表している。