集合の直積

順序対

まず、順序対を定義します。

定義（順序対）

2つの対象に対して、並べる順番を考慮した組を順序対という。 1番目の要素を第1成分、2番目の要素を第2成分と呼ぶ。

第1成分が \(a\in A\) 、第2成分が \(b\in B\) の順序対を

\[ (a,b) \]

と書く。

\(a,b\) が異なるとき

\[ \{a,b\}=\{b,a\}~~~~~\text{(集合)} \]

ですが

\[ (a,b)\neq(b,a)~~~~~\text{(順序対)} \]

であることに注意します。

定義（直積）

集合 \(A,B\) に対して

\[ A\times B:=\{(a,b)~|~a\in A~\text{かつ}~b\in B\} \]

を \(A\) と \(B\) の直積（カルテシアン積）という。特に、同じ集合同士の直積 \(A\times A\) は \(A^2\) と書く。

例えば

\[ \mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2=\{(x,y)~|~x,y\in\mathbb{R}\} \]

これは \(xy\) 平面全体を表しています。