逆写像と合成写像
逆写像の定義
写像 \(f:X\to Y\) が全単射であるとき、写像
\[
f^{-1}:Y\to X
\]
が定義でき、これを \(f\) の逆写像という。
逆写像の性質
- \(f\) と \(f^{-1}\) とでは、定義域と値域が入れ替わる。
- 2つのグラフ \(G(f),G(f^{-1})\) は、直線 \(y=x\) に関して対称である。
合成写像の定義
２つの写像 \(f:X\to Y,~~g:Y\to Z\) に対して、\(f\) の値域が \(g\) の定義域に含まれているとき、対応
\[
x\mapsto g(f(x))~~~(x\in X)
\]
を考えることができる。 これを \(f\) と \(g\) の合成写像といい
\[
g\circ f:X\to Z
\]
と表す。
合成写像の性質
演習問題
次の写像の逆写像は存在するか。 存在する場合は具体的に求めよ。
- \(f(x)=2x+1\)
- \(g(x)=x^2+3\)