写像
写像の定義
定義（写像）
\(X,Y\) を集合とする。
\(X\) の各元に対して、\(Y\) の１つの元を対応させる規則を \(X\) から \(Y\) への写像という。
\(f\) が \(X\) から \(Y\) への写像であることを
\[
f:X\to Y
\]
と表す。このとき、\(X\) を \(f\) の定義域、\(Y\) を \(f\) の終域という。
また、\(f\) によって \(x\in X\) が \(y\in Y\) に対応することを
\[
f(x)=y,~~~~~f:x\mapsto y,~~~~~x\stackrel{f}{\mapsto}y
\]
のように表す。
例
\(A=\{1,2,3\},~B=\{a,b,c,d\}\) とする。
\(1\) に \(a\) を、\(2\) に \(b\) を、\(3\) に \(d\) を対応させるとき、これは写像である。
\[
f(1)=a,~~~f(2)=b,~~~f(3)=d
\]
写像の値域
定義（値域）
写像 \(f:X\to Y\) に対して
\[
f(X):=\{f(x)~|~x\in X\}
\]
を \(f\) の値域という。
値域とは、\(x\in X\) に対して \(f(x)\) が取り得る値の集合である。
例題
\(f:[0,1]\to\mathbb{R}\) は
\[
f(x)=2x^2+1
\]
を値として定める写像とする。\(f\) の値域を求めよ。
\(x\) が区間 \([0,1]\) を動くとき、\(2x^2+1\) は \(1\) 以上 \(3\) 以下の値を取り得るから
\(f\) の値域は
\[
\begin{align}
f([0,1])&=\{2x^2+1~|~x\in[0,1]\}\\
&=[1,3]
\end{align}
\]
である。
写像のグラフ
定義（写像のグラフ）
写像 \(f:X\to Y\) に対して
\[
G(f):=\{(x,f(x))~|~x\in X\}
\]
を \(f\) のグラフという。
演習問題
問題