写像

写像の定義

定義（写像）

\(X,Y\) を集合とする。 \(X\) の各元に対して、\(Y\) の１つの元を対応させる規則を \(X\) から \(Y\) への写像という。 \(f\) が \(X\) から \(Y\) への写像であることを

\[ f:X\to Y \]

と表し、\(X\) を \(f\) の定義域、\(Y\) を \(f\) の終域という。

また、\(f\) によって \(x\in X\) が \(y\in Y\) に対応することを

\[ f(x)=y,\quad f:x\mapsto y,\quad x\stackrel{f}{\mapsto}y \]

などで表す。

例えば、\(A=\{1,2,3\},~B=\{a,b,c,d\}\) として、\(1\) に \(a\) を、\(2\) に \(b\) を、\(3\) に \(d\) を対応させるとき、これは \(A\) から \(B\) への写像です。

\[ f(1)=a,\quad f(2)=b,\quad f(3)=d \]

定義（値域）

写像 \(f:X\to Y\) に対して

\[ f(X):=\{f(x)~|~x\in X\} \]

を \(f\) の値域という。

値域とは、\(x\in X\) に対して \(f(x)\) が取り得る値の集合です。

例題

\(f:[0,1]\to\mathbb{R}\) は

\[ f(x)=2x^2+1 \]

を値として定める写像とする。 \(f\) の値域を求めよ。

\(x\) が区間 \([0,1]\) を動くとき、\(2x^2+1\) は \(1\) 以上 \(3\) 以下の値を取り得るから \(f\) の値域は

\[ \begin{align} f([0,1])&=\{2x^2+1~|~x\in[0,1]\}\\ &=[1,3] \end{align} \]

です。

定義（写像のグラフ）

写像 \(f:X\to Y\) に対して

\[ G(f):=\{(x,f(x))~|~x\in X\} \]

を \(f\) のグラフという。

問題

解答