論理演算子と量化記号

否定

定義（否定）

条件 \(P\) に対して、「\(P\) でない」を

\[ \neg P \]

と書き、\(P\) の否定という。

例えば

\[ P: \text{ \(x\) は偶数である} \]

とすると

\[ \neg P: \text{ \(x\) は奇数である} \]

となります。

論理積と論理和

定義（論理積）

条件 \(P,Q\) に対して、「\(P\) かつ \(Q\) である」を

\[ P\land Q \]

と書き、\(P\) と \(Q\) の論理積という。

定義（論理和）

条件 \(P,Q\) に対して、「\(P\) または \(Q\) である」を

\[ P\lor Q \]

と書き、\(P\) と \(Q\) の論理和という。

量化記号

全称記号

「すべての」を意味する「all」の頭文字Aを逆さにした記号

\[ \forall \]

を全称記号といいます。例えば

\[ \forall x\in\mathbb{R} \]

と書くと、「すべての（任意の）実数 \(x\) に対して」を意味します。

存在記号

「存在する」を意味する「exist」の頭文字Eを逆さにした記号

\[ \exists \]

を存在記号という。例えば

\[ \exists x\in\mathbb{R} \]

と書くと、「ある実数 \(x\) が存在して」を意味します。

演習問題

問題

次の命題を論理式で表し、その真偽を調べよ。

すべての実数 \(x\) に対して、

解答